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- 2021-04-14 发布
2018～2019学年10月北京西城区北京师范大学附属实验中学
高一上学期月考数学试卷
一、选择题
1.已知集合，，则()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】对于选项A,显然A≠B,所以该选项是错误的；
对于选项B,,所以该选项是错误的；
对于选项C,应该是,所以该选项是错误的；
对于选项D,所以，所以该选项是正确的.
故选D
【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.已知集合则
A. [2,3] B. （ -2,3 ] C. [1,2） D.
【答案】B
【解析】
有由题意可得： ，
则 ( -2,3 ] .
本题选择B选项.
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3.已知集合，，则中元素的个数为()
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程组即得解.
【详解】解方程组得，
所以，
所以中元素个数为2个.
故选B
【点睛】本题主要考查集合的交集的运算和集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.已知集合，，若，则实数取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得,即得a≥5.
【详解】因为，
所以，
所以a≥5.
故选A
【点睛】本题主要考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5.设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，
由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，
即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
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6.如果不等式ax2+bx+c<0 （a≠0）的解集是空集,那么 （ ）
A. a<0，且b2-4ac>0 B. a<0且b2-4ac≤0
C. a>0且b2-4ac≤0 D. a>0且b2-4ac>0
【答案】C
【解析】
【详解】设要使不等式的解集是，
需使抛物线开口向上，图象在x轴上方（或相切），
则故选C
7.已知的定义域为，则函数的定义域为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．
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8.下列函数中，值域为的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出每一个选项的函数的值域即得解.
【详解】对于选项A,函数的值域为，所以该选项不符；
对于选项B,函数的值域为R，所以该选项不符；
对于选项C,函数的值域为，所以该选项不符；
对于选项D, 函数的值域为[0,1],所以该选项符合.
故选D
【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.已知函数为奇函数,且当时, ,则 ( )
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
因为是奇函数，所以，故选A.
10.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数
为偶函数，故选B．
考点：函数奇偶性的判定．
11.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
12.已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据单调性，将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，注意偶函数对应的函数的对称情况.
【详解】因为偶函数是在上递增，则在递减，且；又因为，根据单调性和奇偶性有：，解得：,
故选A.
【点睛】本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题，难度一般.对于这种奇偶性和单调性的综合问题，除了可以直接分析问题，还可以借助图象来分析，也可以高效解决问题.
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二、填空题
13.满足关系式的集合的个数是__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
列举出满足题意的集合A即得解.
【详解】由题得满足关系式的集合A有：.
所以集合A的个数为4.
故答案为4
【点睛】本题主要考查集合关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴，再分析得解.
【详解】由题得抛物线的对称轴为x=-2a,
因为函数在区间上是减函数，
所以-2a≥5，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15.定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，则，，从小到大依次是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先分析得到函数的单调性，再比较大小得解.
【详解】因为对任意的，，有，
所以函数在上单调递减，
因为函数是奇函数，
所以函数在R上单调递减，
因为，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意，，则满足条件的函数有_____个.
【答案】9
【解析】
【分析】
直接列举出满足题意的函数，即得满足题意的函数的个数.
【详解】
当（1）时，若（2），则（3），（4）；
若（2），则（4），（3），
若（2），则（3），（4），共3种；
同理可得：当（1），（1）时，都有3种．
综上所述：满足条件的函数共有9种．
故答案为9．
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域、函数的概念，属基础题．
17.已知函数，若，则x=___________
【答案】
【解析】
【分析】
当时，,当时，由可得结果.
【详解】因为函数，
当时，,
当时，,
可得（舍去），或，故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.
18.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
①函数=（xR）是单函数；②若为单函数，且则
；③若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
【答案】②③
【解析】
【详解】命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；
命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；
命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；
命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,
综上可知，真命题为②③.
故答案为②③．
三、解答题
19.已知集合，.
⑴若，求.
⑵若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
（1）把的值代入确定出，再求出B, 求出与的交集即可；（2）根据与的并集为，确定出的范围即可．
【详解】(1) 把代入得：，
或，
；
（2），或，且，
，
解得：，
则实数的范围是．
【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.设函数满足.
⑴求解析式；
⑵若的定义域是区间，求的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）可设，从而求得，代入并整理可得出
，从而得出；（2）配方得出，根据的定义域为即可得出最小，并求出，从而可得出的值域．
【详解】设，则，代入得：
；
；
（2）；
；
时，取最小值，且；
的值域为．
【点睛】
考查换元求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法，函数值域的定义及求法．
21.已知函数的定义在上的偶函数，且当时有.
⑴判断函数在上的单调性，并用定义证明.
⑵求函数的解析式(写出分段函数的形式).
【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出的表达式，即可得到的解析式．
【详解】（1）函数在，上单调递增．
证明：设，则，
，
又，所以，，，
所以．
则，即，
故函数在，上单调递增；
（2）由于当时有，
而当时，，
则，
即．
则．
【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．
22.已知的定义域为，且对任意，都有，若，且，解不等式.
【答案】
【解析】
【分析】
先证明函数的单调性，再利用单调性解不等式得解.
【详解】设，
所以，
因为，.
所以函数f(x)在上是增函数.
由题得，
，
因，
所以，
所以.
所以的解为.
【点睛】本题主要考查函数单调性的证明和应用，考查不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.