江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题 11页

‎ 2021届高二下学期第一次月考数学试卷（理)‎ ‎ 2020.5‎ 一、 ‎ 选择题（本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，‎ ‎ 只有一项是符合题目要求的）‎ ‎ 1. 若对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 2. 若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 3. 函数的定义域为区间，导函数在 内的图象 ‎ 如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）‎ ‎ A 1个 B 2个 C 个 D 4个 ‎ 4． 已知的导函数为，且在处的切线方程为，则 ‎ （ ） ‎ A. ‎2 B. 3 C. 4 D. 5 ‎ ‎5. 函数在点处的切线方程为(　　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 6． 一物体沿直线以速度（单位：）作变速直线运动，则该物体从时刻秒 至时刻秒间运动的路程为(　　).‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ 7. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是(　　)‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 用总长为的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的 容积最大，则容器底面的长为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　　)‎ ‎ ‎ 10. 已知函数，是其导函数，恒有，则（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎11. 设函数，若存在唯一的正整数，使得,则实数的取值 范围为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知函数恰有四个不同的零点，当函数时，实数的取值 范围为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本题共个小题，每小题分，共分，请把正确答案填在题中横线上） ‎ ‎ 13. 已知（为虚数单位），则复数的虚部为 .‎ ‎ 14. 已知函数的导函数为，且满足，则 .‎ ‎ 15. 在平面直角坐标系中，记抛物线与轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线 ‎ ‎ 所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内 ‎ 的概率为，则的值为 .‎ ‎ 16. 函数、，给定下列命题：不等式的解集为；‎ ‎ 函数在上单调递增，在上单调递减； 若函数 有两个极值点，则；若时，总有 恒成立，则. 其中正确命题的序号为 .‎ ‎ 三、解答题（本大题共小题，共分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）‎ ‎ 17. 已知复数 (∈)，‎ 试求实数分别取什么值时，分别为：（1）实数； （2）纯虚数.‎ ‎ ‎ 18. 已知抛物线与直线相交于、两点，点为坐标原点 .‎ ‎ （1）求的值； （2）若的面积等于，求直线的方程.‎ 19. 曲线在处取得极值，且曲线在点处切线垂直 ‎ 于直线．（1）求曲线与直线所围成图形的面积；‎ ‎ （2）求经过点的曲线的切线方程．‎ ‎20. 如图，在直棱柱中，，，，，‎ ‎.‎ ‎（1）求异面直线与所成的角的余弦值；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若，试判断函数在定义域内的单调性；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求实数的值.‎ ‎ 22. 已知函数 .‎ ‎（1）若在处有极值，问是否存在实数，使得不等式 对任意 及恒成立？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，‎ 请说明理由.；‎ ‎（2）若，设. ① 求证：当时，；‎ ‎② 设,求证：‎ ‎ ‎ ‎ (所有答案写在答题卡上) ‎ ‎ 2021届高二下学期第一次月考数学参考答案（理）‎ 一、选择题（本大题共有12小题，每小题5分，共60分）‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答 案 A D A B A D D B D A C D 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 三、 解答题：(本大题6小题，共70分，解答写出文字说明，证明过程或演算步骤) ‎ ‎ 17．解：（1）当为实数时，且 ∴‎ ‎（2）当为纯虚数时，有 ∴ ‎ ‎ 18．解:（1） 设 ， 由题意可知： ∴ ‎ ‎ 联立 得： 显然： ∴ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ （2） ‎ ‎ ∴ 解得：‎ ‎ ∴ 直线的方程为：或 ‎ ‎ ‎ ‎19. 解： ‎ ‎ ‎ ‎ （1）=‎ ‎ （2）设切点为 ‎ ‎ 所求切线方程为： ‎ 代入 可得： 或 ‎ ‎ 所求切线方程为：或 ‎20. 解：（1） 易知AB，AD，AA1两两垂直．如图2建立空间直角坐标系．‎ 设AB＝t，则各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，‎ B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．‎ 从而＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．‎ 因为AC⊥BD， 所以·＝－t2＋3＋0＝0. ‎ 解得: 或 (舍去)‎ ‎∴=，而 ‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ （2） 由(1)可知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．‎ ‎ 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，‎ 则:即令x＝1，则n＝(1，－，)．‎ 设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，‎ 则：sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝＝ ‎ 直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为 ．‎ ‎21. 解: (1) 由题意知，的定义域为，且 显然，故在上是单调递增函数．‎ (2) 由(1)可知，.‎ ‎① 若，则当时，，即，‎ 故在上为增函数， ，‎ ‎(舍去)．‎ ‎② 若，则当时，，即，‎ ‎ 在上为减函数，‎ ‎ ， (舍去)．‎ ‎③ 若，令，得，‎ 当时，， 在上为减函数；‎ 当时，， 在上为增函数．‎ ‎ ， . ‎ ‎ 综上所述，.‎ ‎22. 解：（1）， ．‎ ‎ 由，可得 ，．‎ 经检验: 当时，函数在处取得极值，所以． ‎ ‎∵，．‎ 当时， ‎ 不等式对任意及恒成立，‎ 即: ，‎ 即: :对恒成立，令，‎ ‎ 解得:为所求. ‎ ‎（2）① ∵‎ 在上单调递减 ‎ ‎② 由①可得: 　‎ ‎　令:，得: 即: ‎ ‎=‎