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- 2021-04-14 发布
北京市十一学校2018-2019学年度第一学段
数学ⅠA教与学诊断
一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出不等式和，再由交集的定义可得出集合.
【详解】，，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.
2.命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）
A. 对任意实数x, 都有x > 1 B. 不存在实数x，使x1
C. 对任意实数x, 都有x1 D. 存在实数x，使x1
【答案】C
【解析】
【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词。
∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选：C．
3.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析各选项中函数在区间上的单调性，可得出正确选项.
【详解】对于A选项，函数在上为减函数，该函数在区间上减函数；
对于B选项，函数在区间上是减函数；
对于C选项，函数在上为增函数，该函数在区间上是增函数；
对于D选项，二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，该函数在区间上是减函数.
故选：C.
【点睛】本题考查基本初等函数在区间上单调性的判断，熟悉基本初等函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.
4.已知映射，其中，对应法则．则集合中的元素的原象为（ ）
A. B.
C. 或 D. 以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
设集合中的元素的原象为，根据题意得出关于、的方程组，解出即可.
【详解】设集合中的元素的原象为，则，解得或.
因此，集合中的元素的原象为或.
故选：C.
【点睛】本题考查原象的求解，建立方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
5.“在[a,b]上为单调函数”是“函数在[a,b]上有最大值和最小值”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
充分性成立但必要性不一定成立，连续函数在上有最大值和最小值但可能不单调。
6.若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数解析式配方得，由得出或，然后对分、和三种情况讨论，利用数形结合思想并结合该函数在区间上的值域为来得出实数的取值范围.
【详解】，作出函数在区间上的图象如下图所示：
由图象可知，当时，，令得出或.
当时，函数在区间上单调递减，此时，不合乎题意；
当时，且当时，由图象可知，，合乎题意；
当时，且当时，由图象可知，，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用二次函数的值域求参数的取值范围，解题时要对参数的取值进行分类讨论，利用数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.使得“”成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出每个选项中的不等式，根据集合包含关系可找出使得“
”成立的一个充分而不必要条件.
【详解】对于A选项，解不等式，得或，则“”是“”成立的既不充分也不必要条件；
对于B选项，解不等式，得，则“”是“”成立的必要不充分条件；
对于C选项，解不等式，即，解得或，则“” 是“”成立的既不充分也不必要条件；
对于D选项，解不等式，得，则“” 是“”成立充分不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题考查充分不必要条件的寻找，一般转化为集合的包含关系来寻找，考查推理能力，属于中等题.
8.已知，试用表示的结果为（ ）
A. B. C. D. 以上结果都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数的运算性质并结合题中等式解出，然后利用对数的运算性质可得出关于的表达式.
【详解】，，
因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
9.已知是定义在上的奇函数，且当时，的图象如图所示，那么的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图象得出函数在区间上的值域，并得出，利用奇函数的性质求出函数在区间上的值域，由此可得出函数的值域.
【详解】由图象可知，当时，，
由于函数是定义在上的奇函数，则.
当时，，则，即，解得.
即函数在区间上的值域为.
因此，函数的值域为.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数值域求解，解题时应充分利用奇函数的性质来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.已知函数是偶函数，且其定义域为，则和的值分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. 以上结果都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
利用偶函数的定义域关于原点对称得出的值，再利用二次函数图象的对称轴为轴可求出的值.
【详解】由于偶函数的定义域为，关于原点对称，
则，得，此时，，
二次函数图象的对称轴为直线，得.
因此，，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，在利用函数奇偶性的定义求参数时，还应注意函数的定义域关于原点对称这一条件的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
二、填空题：共10小题，每小题3分，共30分.
11.函数的零点为______________.
【答案】和
【解析】
【分析】
解方程，即可得出函数的零点.
【详解】令，得，解得或.
因此，函数的零点为和.
故答案为：和.
【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
12.函数的定义域为_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据偶次根式被开方数非负、分式中分母不为零、零次幂中底数不为零，列出关于的不等式组，即可得出函数的定义域.
【详解】由题意得，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要熟悉一些常见基本初等函数求定义域的原则，考查运算求解能力，属于基础题.
13.化简的结果为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用根式的运算性质和指数的运算性质可求出所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查根式的运算性质，同时也考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题.
14.满足的实数的值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由外到内逐步将对数式化为指数式，可解出的值.
【详解】，，则，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查对数方程的求解，在解题时应将对数式化为指数式来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
15.使得代数式的值恒为正值的实数值的集合为_____________．
【答案】或
【解析】
分析】
解不等式即可得出实数的取值集合.
【详解】由题意得，即，解得或.
因此，使得代数式的值恒为正值的实数值的集合为或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.
16.若关于的一元二次方程的两个根都大于，则实数的取值范围是___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，分析二次函数的对称轴、判别式的符号以及的符号，可得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】设，由题意知，函数的两个零点都大于.
则，解得.
因此，实数取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要结合二次函数的图象分析其开口方向、对称轴、判别式的符号以及端点（与零点比大小的数）函数值的符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
17.化简的值为________________________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数、指数的运算性质、对数恒等式即可计算出结果.
【详解】原式.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数、对数的运算，熟悉指数、对数的运算律以及对数恒等式是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
18.若函数的图象与轴没有公共点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况讨论，在时验证即可，在时得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】当时，函数为，该函数的图象与轴没有公共点；
当时，由于函数的图象与轴没有公共点，
则，整理得，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查变系数的二次函数的零点个数求参数，解题时要分析首项系数与判别式符号，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.
19.如图，点在边长为的正方形的边、上从点运动到点，设运动路程长度为，记线段的长度为，则与之间的函数关系可表示为___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
分点在线段、（不包括点），利用勾股定理计算出的长度，即可得出函数的解析式.
【详解】①当点在线段上时，即当时，，；
②当点在线段（不包括点）时，即当时，，
.
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数解析式的求解，解题时要对自变量的取值进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20.若函数的定义域为，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得出不等式对任意的恒成立，然后对分和两种情况讨论，在时验证即可，在时分析二次函数图象的开口方向和判别式符号，可求出实数的取值范围.
【详解】由题意得出不等式对任意的恒成立.
①当时，则有，合乎题意；
②当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数的取值范围，解题时要对首项系数的符号以及判别式的符号进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
21.设集合，.
（1）求集合；
（2）若不等式的解集为，求实数、的值.
【答案】（1）；（2），.
【解析】
【分析】
（1）分、、三种情况解不等式，可得出集合
，解不等式，可得出集合，再利用交集的定义可得出集合；
（2）由（1）得知，由题意知，关于的方程的两根为和，然后利用韦达定理可求出、的值.
【详解】（1）先解不等式.
①当时，由得，解得，此时；
②当时，由得，成立，此时；
③当时，由得，解得，此时.
所以，不等式的解集为.
解不等式，即，解得，.
因此，；
（2）不等式的解集为，、是方程的两实根.
根据韦达定理得，解得，.
【点睛】本题本题考查交集的运算，同时也考查了绝对值不等式、分式不等式的解法以及二次方程根与系数的关系，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.
22.已知二次函数的最小值为1，且．
（1）求解析式．
（2）在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)
已知函数是二次函数，求解析式可以采用待定系数法，再由已知条件可以设二次函数的顶点式.
(2)由二次函数图像在直线上方可得到不等式：，问题转化为不等式在[－1,1]恒成立求参数的范围，可以用分离参数法.
【详解】（）由已知是二次函数，且，得的对称轴为，
又的最小值为，
故设，
又， ∴，解得，
∴．
（2）由于在区间[－1,1]上，的图象恒在的图象上方，
所以在[－1,1]上恒成立，
即在上恒成立．
令，则在区间[－1,1]上单调递减，
∴在区间[－1,1]上的最小值为，
∴，即实数的取值范围是
【点睛】本题综合考查二次函数的解析式求解和其性质应用，解析式求解中，如何设函数解析式很关键，将会影响后续计算量的大小，因此需要根据已知条件选择合适的解析式；在求解参数范围时一般采用分离参数和构造函数法，在分离参数后要分清是恒成立问题还是存在性问题然后求解产生的新函数的最值.如果采用构造函数法，则需要解决构造函数的性质来求参数的范围.
23.设函数.
（1）试写出函数的单调区间，并对于的情况用函数单调性的定义给予证明；
（2）解不等式.
【答案】（1）的单调减区间为、，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的解析式写出函数的单调递减区间，然后利用定义证明出函数在区间上的单调性；
（2）分和解不等式，即可得出不等式的解集.
【详解】（1）函数的单调递减区间为、.
下面证明函数在区间上的单调性.
任取，则，
，，，，.
因此，函数在区间上为减函数；
（2）由得，，即，即.
当时，则，解得，此时；
当时，则，解得或，此时.
综上所述，不等式的解集为.
【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了分式不等式的解法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
24.设二次函数，其中常数.
（1）求在区间上的最小值（用表示）；
（2）解不等式；
（3）若对任意恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）就二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，从而可得出函数在区间上的最小值；
（2）分、两种情况解不等式，即可得出各种情况下不等式的解集；
（3）由（1）中的结论，将问题转化为函数在区间上的最小值，然后解出该不等式可得出实数的取值范围.
【详解】（1）二次函数对称轴为直线，且图象开口向上.
若，即时，函数在区间上单调递增，
则；
若，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则；
若，即时，函数在区间上单调递减，
则
因此，；
（2）.
当时，即当时，则不等式的解集为；
当时，即当或时，解不等式，即.
解得或.
此时，不等式的解集为；
（3）由题意知，函数在区间上的最小值.
由（1）知，当时，则，解得，此时；
当时，则，解得，此时；
当时，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查二次函数在定区间上的最值的求解，同时也考查了含参二次不等式的解法以及二次不等式在区间上恒成立问题，解题时要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，在处理不等式恒成立问题时，应转化为与最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想以及化归与转化思想的应用，属于中等题.