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- 2021-04-14 发布
滦县二中2017-2018学年度第一学期期中考试
高三理科数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）．
1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝
A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
2.复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在区间[1，2]上任选两个数x，y，则y＜ 的概率为
A．2ln2﹣1 B．1﹣ln2 C． D．ln2
4.在等比数列{an} 中，a1=4，公比为q，前n项和为Sn，若数列{Sn+2}也是等比数列，则q等于
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
5.函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是
A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）
6.若，则|a0|﹣|a1|+|a2|﹣|a3|+|a4|﹣|a5|=
A．0 B．1 C．32 D．﹣1
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．32 B．18 C．16 D．10
8.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=
A．0 B．5 C．45 D．90
9.设函数 的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则
A． f（x）的一个对称中心是（，0） B．f（x）在[]上是减函数
C． f（x）的图象过点（0，） D．将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到y=3sinωx的图象
10.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11.设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．3
12. 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是
A．(－∞，0) B．(0,1) C. D．(0，＋∞)
第II卷（非选择题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13.D为△ABC的BC边上一点，，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若， 其中λ＞0，μ＞0，= ．
14.若实数满足，则的最小值为 .
15.已知F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，设|FA|＞|FB|，则= ．
16.在正三棱锥V﹣ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．在右图所示的四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠BAC＝60°，AC＝2，
AB＝＋1. (1)求BC；
(2)求△ACD的面积．
18．如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且AE∥BP.
(1)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD；
(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
19．汽车4S店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等．某品牌汽车4S店为了了解A，B，C三种类型汽车质量问题，对售出的三种类型汽车各取前100辆进行跟踪服务，发现各车型一年内需要维修的车辆数如下表1.
(1)某公司一次性从4S店购买该品牌A，B，C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车一年内需要维修的车辆数，求ξ的分布列及数学期望．(把各类型汽车维修的频率视为其需要维修的概率)．
(2)该品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如下表2.
预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从＝bx＋a，(b＝－0.2，a＝－b)的关系，且该产品的成本是500元/件，为使4S店获得最大利润(利润＝销售收入－成本)，该产品的单价应定为多少元？
表1
车型
A
B
C
频数
20
20
40
表2
单位x(元)
800
820
840
860
880
900
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
20．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F
2＝4，离心率为，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，且满足 |＋|＝|－|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
21．已知函数f(x)＝.
(1)当x≥0时，f(x)≤(m>0)恒成立，求实数m的取值范围；
(2)求证：f(x)ln x<.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．
（1）求曲线的普通方程；
（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求的取值范围．
滦县二中2017-2018学年度第一学期期中考试试题高三数学理科答案
CDACD AACAA BB
13. 3 14. 15. 3+2 16.
17.(1)在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝6，所以BC＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝，
则sin∠ABC＝，又0°<∠ABC<120°，
所以∠ABC＝45°，从而有∠ACB＝75°，由∠BCD＝150°，得∠ACD＝75°，又∠DAC＝30°，
所以△ACD为等腰三角形，即AD＝AC＝2，故S△ACD＝1.
18.(1)证明：因为平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABPE，所以BA，BP，BC两两垂直．以B为原点，，，的方向分别为x轴、y轴 、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，
所以＝. 易知平面ABCD的一个法向量为n＝(0,1,0)，
所以·n＝·(0,1,0)＝0，所以⊥n.
又EM⊄平面ABCD，所以EM∥平面ABCD.
(2)当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
理由如下：因为＝(2，－2,1)，＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由得取y1＝1，得平面PCD的一个法向量为n1＝(0,1,2)．
假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值为.
设＝λ(0≤λ≤1)， 则＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)，
＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)． 所以sinα＝|cos〈，n1〉|＝
＝＝＝.
所以9λ2－8λ＋4＝5，解得λ＝1或λ＝－(舍去)．
因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD
所成角的正弦值为.
19.(1)根据表格，A型车维修的概率为，B型车维修的概率为，C型车维修的概率为.
由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝××＝； P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝；
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝××＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设获得的利润为w元，根据计算可得＝850，＝80，
代入回归方程得＝－0.2x＋250. 所以w＝(－0.2x＋250)(x－500)＝－0.2x2＋350x－125000，
该函数图象是开口向下，以直线x＝－＝875为对称轴的抛物线，
所以当x＝875时，w取得最大值，即为使4S店获得最大利润，该产品的单价应定为875元．
20. (1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)，由题意得S△BF1F2＝×2c×b＝4，e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在圆心在原点的圆x2＋y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，且满足|＋|＝|－|，则有·＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，解方程组得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0，
x1,2＝，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，
要使·＝0，需x1x2＋y1y2＝0， 即＋＝0，
所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0，
又8k2－m2＋4>0，所以所以m2≥，即m≥或m≤－，
因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圆为x2＋y2＝，
此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，
而当切线的斜率不存在时，切线为x＝±，与椭圆＋＝1的两个交点为或，满足·＝0.综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．
21.(1)∵x≥0，f(x)≤(m>0)恒成立，
∴m2≥>0在x≥0时恒成立，即m≥在x≥0时恒成立．
令g(x)＝(x≥0)，即g′(x)＝≤0，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(0)＝1，∴m的取值范围是[1，＋∞)．
(2)证明：要证f(x)ln x<，即证ln x<， ∵x>0，∴x＋1>0，只需证ln x0，
∴必有x0∈(1,2)，使得h′(x0)＝0，即ex0－2－＝0， ∴x0－2＝－ln x0.
∴h(x)在(0，x0)上是减函数，在(x0，＋∞)上是增函数， ∴h(x)min＝h(x0)＝ex0－2－ln x0
＝＋x0－2＝>0，∴ex－2－ln x>0，即ln x