高考理科数学专题复习练习5.1平面向量的概念及线性运算 2页

第五章平面向量 ‎5.1平面向量的概念及线性运算 专题1‎ 平面向量的线性运算及几何意义 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,平面向量的线性运算及几何意义,选择题,理8)在△ABC中,D为AC的中点,BC=3BE,BD与AE交于点F,若AF=λAE,则实数λ的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎4‎‎5‎ 解析:如图,B,F,D三点共线,‎ ‎∴存在实数k使,BF=kBD‎=k‎2‎(BA+‎BC);‎ ‎∴AF‎=AB+BF=AB+k‎2‎(BA+‎BC)=‎1-‎k‎2‎AB‎+‎k‎2‎BC;‎ AE‎=AB+BE=AB+‎‎1‎‎3‎BC‎;‎ ‎∵AF=λAE,‎ ‎∴‎1-‎k‎2‎AB‎+‎k‎2‎BC=λAB‎+‎λ‎3‎BC;‎ ‎∴‎1-k‎2‎=λ,‎k‎2‎‎=λ‎3‎,‎解得λ=‎3‎‎4‎.故选C.‎ 答案:C ‎5.3平面向量的数量积 专题1‎ 平面向量数量积的运算 ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,平面向量数量积的运算,解答题,理17)已知点A(sin θ,1),B(cos θ,0),C(-sin θ,2),且AB‎=‎BP.‎ ‎(1)记函数f(θ)=PB‎·‎CA,θ∈‎-π‎8‎,‎π‎2‎,讨论函数的单调性,并求其值域;‎ ‎(2)若O,P,C三点共线,求|OA‎+‎OB|的值.‎ 解:设P(x,y),由AB‎=‎BP,得OB‎-OA=OP-‎OB,‎ 即(cos θ-sin θ,-1)=(x-cos θ,y),‎ 所以x=2cos θ-sin θ,y=-1,‎ 亦即P(2cos θ-sin θ,-1);‎ ‎(1)f(θ)=PB‎·‎CA=(sin θ-cos θ,-1)·(2sin θ,-1)=2sin2θ-2sin θcos θ-1=-sin 2θ-cos 2θ=-‎2‎sin‎2θ+‎π‎4‎;‎ 由θ∈‎-π‎8‎,‎π‎2‎,得2θ+π‎4‎‎∈‎‎0,‎‎5π‎4‎,‎ 所以,当2θ+π‎4‎‎∈‎‎0,‎π‎2‎,即θ∈‎-π‎8‎,‎π‎8‎时,f(θ)单调递减,且-‎2‎≤f(θ)<0,‎ 当2θ+π‎4‎‎∈‎π‎2‎‎,‎‎5π‎4‎,即θ∈π‎8‎‎,‎π‎2‎时,f(θ)单调递增,且-‎2‎≤f(θ)<1,‎ 故函数f(θ)的单调递减区间为‎-π‎8‎,‎π‎8‎,单调递增区间为π‎8‎‎,‎π‎2‎,值域为[-‎2‎,1).‎ ‎(2)由O,P,C三点共线可知,OP‎∥‎OC,‎ 即(-1)·(-sin θ)=2·(2cos θ-sin θ),得tan θ=‎4‎‎3‎,‎ 所以|OA‎+‎OB|=‎‎(sinθ+cosθ‎)‎‎2‎+1‎ ‎=‎‎2+2sinθcosθ‎=‎‎2+‎‎2sinθcosθsin‎2‎θ+cos‎2‎θ ‎=‎2+‎‎2tanθtan‎2‎θ+1‎‎=‎‎74‎‎5‎.‎ ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,平面向量数量积的运算,填空题,理14)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=‎5‎,点M,N满足AM=λAB‎,‎AN=(1-λ)AC,λ∈R,若BN‎·‎CM=-2,则λ=　　　　　. ‎ 解析:由题意可得AB‎·‎AC=0,‎ ‎∵AM=λAB‎,‎AN=(1-λ)AC,λ∈R,‎ 由于BN‎·‎CM=(AN‎-‎AB)·(AM‎-‎AC)‎ ‎=λ(1-λ)AB‎·‎AC-(1-λ)|AC|2-λ|AB|2+‎AB‎·‎AC ‎=-4(1-λ)-λ=-2,‎ 解得λ=‎2‎‎3‎,故答案为‎2‎‎3‎.‎ 答案:‎‎2‎‎3‎