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- 2021-04-14 发布
黑龙江省佳木斯市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试
数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.)
1.“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3.已知抛物线的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.已知圆，过点的直线，则（ ）
A．与相交 B．与相切
C．与相离 D．以上三个选项均有可能
5.若实数满足，则曲线与曲线的（ ）
A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等
6.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为3，则（ ）
A． B． C．4 D．
7.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（ ）
A． B． C．4 D．8
8.已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则球的半径为（ ）
A． B． C． D．
9.设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10.直线（为参数）和圆交于两点，则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11.设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过做的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12.设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.曲线的直角坐标方程为，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为_____________．
14.过椭圆的右焦点作倾斜角为弦，则为_____________．
15.过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，直线的方程为___________．
16.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知命题：方程表示焦点在轴的椭圆；命题：关于的不等式的解集是；若“”是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围．
18.（12分）已知直线经过点，倾斜角，
（1）写出直线的参数方程．
（2）设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积．
19.（12分）如图，已知平面，点分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
20.（12分）已知双曲线的离心率且点在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）记0为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点，若的面积为，求直线的方程．
21.（12分）已知椭圆的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为的直线经过点，与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆的右焦点在以为直径的圆内时，求的取值范围．
22.（12分）已知动圆过定点，且和定直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，若（为实数），证明：．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
D
B
C
C
D
D
C
D
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：当命题为真命题时，，解得，
当命题若为真命题时，则，解得，
（2）因为点在曲线上，故可设点的坐标为，从而点到直线的距离为
，
由此得，当时，取得最小值，且最小值为．
19.证明：
（1）如图，连接，
∵在中，和分别是和的中点，∴，
又∵平面，∴平面；
（2）∵为的中点，
∴，∵平面，
∴平面，从而，
又∵，
∴平面，
又∵平面，∴平面平面．
20.解：（1）由已知可知双曲线为等轴双曲线设，及点在双曲线上解得，所以双曲线的方程为；
（2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为，
由得，
设直线与双曲线交于，则是上方程的两不等实根，
∴且，即且，①
，
又，
即，∴，∴，即，
∴，又，∴，∴适合①式；
所以，直线的方程为与．
21.解：（1）∵椭圆的焦距为4，∴，
又∵椭圆的离心率为，
∴椭圆的离心率，∴，
∴椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，
由消去，得，
∴，
由（1）知椭圆的右焦点的坐标为，
∵右焦点在圆的内部，∴，∴，
即，
∴，
∴，
经检验，当时，直线与椭圆相交，
∴直线的斜率的取值范围为．
20.解：（1）由抛物线定义知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程是；
（2）证明：设直线的方程为，代入抛物线方程得：，
设两点的坐标分别是，则，
由，得，又点的坐标是，从而，
而，
则
所以，．