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- 2021-04-14 发布
第五章 平面向量
1、非零向量 ba与 不共线，若 a +b =c ， - = d ，则 ⊥ d 是| |=| |的 （ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件
1、A
【思路分析】法一： ⊥ • =（ + ）•（ - ）= | |2 - | |2 = 0 | | = | |
法二：作OA a ，OB b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形 OACB，则 =OC ，
= BA. ⊥ OACB 为菱形 | | = | |.
【命题分析】考查向量的有关概念，几何意义与运算，简易逻辑等基础知识.
2．已知a ，b 是两个单位向量，命题：（2a + b ）⊥ 是命题〈 ， 〉=
3
2 π 成立的（ ）
条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分且必要 D．非充分且非必要
2．解答： 01)b,acos(20b)ba2(b)ba2(
cos〈a ， b 〉=－
2
1 〈 a ， b 〉=
3
2 π 选 C
评析：考察充要条件及向量数量积的简单知识
3．（文）己知 A（1，2）B（－3，1）则向量 AB按向量（－1，2）平移后得到的向量坐标
是（ ）
A．（－4，－1） B．（－5，1） C．（ 0，4） D．（ 2，－1）
3．（文）解答： ）1，4（）2，1（）1，3（AB
无论怎样平移， AB仍是（－4，－1） 选 A
评析：考察考生问题概念、平移性质。
4．（文）已知△ABC 中，a、b、c 三边长分别为 3，4，5，则 ABACBCACBCAB
的值为（ ）
A．7 B．－7 C．－25 D．25
4．（文）解答： ABACBCACBCAB
=c·a(－cosB)+0+b·c cosA
=－a2+b2
=7 选 A
评析：本题考察考生平面向量运算及应用能力。
5、设命题 P：非零向量 a 、b ， |||| ba 是 )()( baba 的充要条件；
命题 q ： M 为平面上的一动点， A 、 B 、 C 三点共线的充要条件是存在角 ，使
MCMBMA 22 cossin ，则
A. qp 为真命题 B. qp 为假命题
C. qp 为假命题 D. qp 为真命题
5、C 由向量的几何意义和菱形的性质知 P 为真命题；由教材上例题 A、B、C 三点共线的
充要条件为 MCtMBtMA )1( ， )( Rt ，而 ]1,0[sin 2 ，为必要非充分条件，
故 q 为假命题，故选 C .
6．给定两个向量 ,,ab| a |=3,| b |=2,< ,ab>=600,如果(3 5 ) ( )a b ma b+ ^ - 则 m 的值
等于（ ）
A． 32
23
B． 23
42
C． 29
42
D． 42
23
6、C
【思路分析】：由已知得：(3 5 ) ( )a b ma b+-＝0，即 22
3 (5 3) 5 0ma m ab b+ - - = ，解
得 29
42m =
【命题分析】：考察向量的基本运算和向量垂直的性质
7、已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 DBCD 2 ， ACSABrCD ，则 Sr 的值
是 （ ）
A、
3
2 B、
3
4 C、 3 D、0
7 、 （ 分 析 ： ∵ ∴ CBCD 3
2 又 ∴
)(3
2
3
2 ACABCBACSABr ∴
3
2r
3
2s 选 D 项）
8 、已知等差数列 na 的前 n 次和为 ns ，且 55,10 52 ss ，则过点 ),( nanP 和
),2( 2 nanQ （ *Nn ）的直线一个方向向量的坐标可以是 （ ）
A、（
2
1,2 ） B、（ 2,2
1 ） C、（ 1,2
1 ） D、（ 1,1 ）
8、（分析： 55
10
5
2
S
S
即
552
)(5
102
)(
51
21
aa
aaa
∴ 22
10
51
21
aa
aa
∴ 4,123 dd ∴
62 1 a ; 31 a
∴ 144)1(3 nnan ， )14,( nnP ， )74,2( nnQ ， 42
8 PQK 方向向量
),1( k ，故选（B）。
9．已知 1|||||| cba ，且 0 cba ，则 a 与b 的夹角为（ ）
A．300 B．600 C．900 D．1200
9．D [思路分析]：法 1： cba ， 1)()( 22 cba ，∴ 12
22
bbaa ，则
{ { {
ba = cos||||2
1 ba ，∴
2
1cos ， 0120 。
法 2：由模都为 1 及向量的加法法则知， a ，b ， c 对应的点应均匀分布在单位圆
上，∴ a 与b 的夹角为 1200。
10．（理）已知 )1,1(),1,1( xbx
xa ，其中 2x ，则 ba 的最小值是（ ）
A． 2 B． 2 C．
2
5 D． 3
11．已知直线l 与 yx, 轴分别相交于点 A 、B , jiAB 32 (i 、 j 分别是与轴 yx, 正半轴
同方向的单位向量), 则直线 的方程是
A． 0623 yx B。 0623 yx C。 0632 yx D。 0632 yx
11． B【思路分析】： )3,0(),0,2( BA
【命题分析】：考察向量平移、相等概念和直线方程
12 ．（文 ） 已知|a|=1,|b|= 2 , 且 (a － b) 和 a 垂直, 则 a 与 b 的 夹 角 为 材
___________________
12．（文）
4
13．e1,e2是夹角为60o的两个单位向量，则向量a=2e1+e2,和b=2e2-3e1的夹角是（ ）
A、30o B、60o C、120o D、150o
13C
14．理 C【思路分析】： )1,( xxba ,∴
2
51
2
2 xxba )2( x ，故选 C.
14．【命题分析】：考查向量的坐标运算，长度的计算，求值域，综合解题能力.
15．（文） 21, ee 是平面内不共线两向量，已知 212121 3,2, eeCDeeCBekeAB ，
若 DBA ,, 三点共线，则 k 的值是（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．3
15．文 A【思路分析】： 21 2eeCBCDBD ，又 A、B、D 三点共线，则 ADAB .
即
2
1
k
，∴ 2k ，故选 A .
【命题分析】：考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用.
16．（ 12 分）已知 )12sin3sin,1(),1,(cos 44 xxbxa ，若函数 baxf )( .
（1）若 31)( xf ，且 ]0,2[ x ，求 x 的值；
（2）若函数 y=sin2x 的图象按向量 )2(),( hkhc 平移后得到函数 y=f(x)的图象，求
实数 h、k 的值.
16．【思路分析】：（1） xxxxxxbaxf 22244 )(cossin(cos12sin2sincos)( +
1)6
52sin(212sin32cos12sin3)sin2 xxxxx . （2 分）
31)( xf ，即
2
3)6
52sin( x ， ∵ 02 x ， ∵ ]6
5,6[6
52 x .
故
36
52 x 或
3
2 ， ∵
4
x 或
12
x . （6 分）
（2）设 ),( yxP 是函数 xy 2sin 图象上任意一点，按向量 c 平移后对应点为 ),( yxP ，
根据平移公式有：
kyy
hxx ，即 1]6
5)(2sin[ hxky . （8 分）
则 xkhxy 2sin1)]6
52(2[sin .
∴
2
01
26
52
h
k
kh
，得
112
5
k
h . （12 分）
【命题分析】：考查向量的数量积，三角函数式的化简、求值，函数图象的平移变换，
要求考生熟记公式，掌握常见变形技巧与方法。
17．已知 a、b、c 为斜三角形 ABC 的三边，A、B、C 为三边所对的角， ),( bax ， )0,(cy ，
若 |||| ytx ， )( Rt ，求 CBA tan)cot(cot 的值。 （12′）
17．[思路分析]
由 |||| ytx 知，a2+b2=t2·c2，………………………………………………2′
由于△ABC 为斜△，∴t2≠1 …………………………………………………3′
CBA
C
C
C
B
B
A
ACBA cos
1
sinsin
sin
cos
sin)sin
cos
sin
cos(tan)cot(cot
2
=
1
222
2222
2
222
2
tcba
c
cba
ab
ba
c ………………………………12′
[命题分析]：本题重在考查三角函数、余弦定理、正弦定理，结合向量模的概念。
18、（本小题满分 12 分）
在 ABC 中， cba ,, 分别是角 A、B、C 的对边， ),2( bcax ， )cos,(cos CBy
且 0 yx
（1）求 B 的大小；（2）若 3b ，求 ca 的最大值。
18、（本题体现了向量与三角知识的交汇，小而巧）
解：（1） 0coscos)2( CbBcayx 由正弦定理
0coscoscos2 CSinBBSinCBSinA
∴ 0)(cos2 CBSinBSinA ∴ 0)1cos2( BSinA
∵ ),0(, BA ∴ 0SinA ，
2
1cos B ∴
3
2B
（2） accaaca 222 )(3
2cos23 ， 22 )2(33)( caacca
∴ 4)( 2 ca 2ca ∴ 2)( max ca
19．(本题满分 12 分)已知向量 m =（sinB，1－cosB)，且与向量 n = （2，0）所成角为
3
p ，
其中 A, B, C 是⊿ABC 的内角．
（1）求角Ｂ的大小； （2）求 sinA+sinC 的取值范围．
19、【思路分析】：（1）∵ m =（sinB，1-cosB) , 且与向量 n = （2，0）所成角为 ,3
p
∴1 cos 3,sin
B
B
- = ……………………………………………………………………3’
∴tan 23 0 , , ,2 2 3 3 3
BBB A Cppb p p= < < = = + =又 即 ………………6’
（2）：由（1）可得∴
sin sin sin sin( )3
13sin cos sin( )2 2 3
A C A A
A A A
p
p
+ = + -
= + = +
…………………………8’
∵ 0 3A p<< ∴ 2
3 3 3Ap p p< + < ……………………………………10’
∴ 33sin( ) , 1 , sin sin , 13 2 2A A Cp 纟纟珑+ 蝄 +?珑珑珑梃
当且仅当 , sin sin 16A C A Cp= = + =时 …………………………………12’
【命题分析】：考察向量的基本知识与三角函数的运算
20、（12 分）已知向量 m＝(sin B，1－cos B)，且与向量 n＝(1，0)的夹角为
3
，其中 A、B、
C 是 ABC 的内角，求sin sinAC 的取值范围．
20、【思路分析】由已知
B
B
cos22
sin
||||3cos
nm
nm ，即
2
1
cos22
sin
B
B …2 分
∴
2sin cos 1122 cos2 2 22sin 2
BB
B
B ……………………………………………4 分
又 0＜B＜ ， 32
B ，即
33
2 CAB ， ……………………6 分
∴ )3sin(cos2
3sin2
1)3sin(sinsinsin AAAAACA …………8 分
∵0＜A＜
3
， ∴
3
2
33
A
∴
2
3()3sin( A ，1]， ∴
2
3(sinsin CA ，1] …………12 分
21．（12 分）已知向量 mnm ),1,(sin),1,3
2(cos 与 n 为共线向量，且
]0,2[
（Ⅰ）求 cossin 的值
（Ⅱ）求
cossin
2sin
的值
21．（ Ⅰ）∵m 与 n 为共线向量，∴ ,0sin)1(1)3
2(cos
即 .3
2cossin
（Ⅱ） .9
72sin,9
2)cos(sin2sin1 2
.9
16)3
2(2)cos(sin,2)cos(sin)cos(sin 2222
又 .3
4cossin,0cossin],0,2[
因此， .12
7
cossin
2sin
22．（12 分）设 yx. R，i，j 为直角坐标系的单位向量，a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－
2）j，|a|+|b|=8
（1）求动点 M（x，y）的轨迹 C 的方程
（2）过 A（0，3）作直线 L 与曲线 C 交于 A、B 两点，若 OBOAOP 是否存在直线
L 使得 OAPB 为矩形，若存在，求出直线 L 的方程，若不存在，说明理由
22．解（1）∵a=xi+（y+2）j b=xi+（y+2）j |a|+|b|=8
∴动点 M（x，y）是到定点 F1（0，－2）， F2（0，2）的距离之和 8
∴曲线 C 的轨迹方程为 11612
22
yx
（2）直线 L 过 N（0，3），若 L 是 y 轴，则 A，B 是椭圆的顶点
∵OP =OA+OB =0，∴P 与 O 重合与 OAPB 为矩形矛盾
∴直线 L 的斜率存在，设 L：y=kx+3 A（x1，y1）B（x2，y2）
由
11612
3
22 yx
kxy
得（4+3k2）x2+8kx－21=0
∵△=64k2+845（4+3k2）＞0 恒成立
∴由韦达定理得 x1+x2=
43
8
2 k
k x1·x2=
4
21
2 k
∵ = + ∴OAPB 是平行四边形
若存在 L，使它为矩形，则OA⊥ 即 · =0 ∴x1·x2+y1·y2=0
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，∴（1+k2）·（－ 234
21
k
）+3k·（－ 234
18
k
k
）+9=0
k2=
16
5 k=±
4
5 所求直线 L 的方程：y=± x+3