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- 2021-04-14 发布
高二数学（文科）
单选题（每小题5分，共60分）
1.已知是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）
A. 1 B. C. D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的乘法运算以及复数的概念即可求解.
【详解】，
所以的虚部为1.
故选：A
【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算以及复数的概念，属于基础题.
2.不等式的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由得，即不等式的等价条件是，
则不等式的一个充分不必要条件一个是的一个真子集，
则满足条件是，
故选A.
3.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．
【详解】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，
四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，
故选D．
【点睛】本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题
4.等差数列的首项为1，公差不为，若，，成等比数列，则数列的前项的和为（ ）
A. B. C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式与等比中项性质建立方程，求得公差，再由等差数列求和公式求得答案
【详解】设等差数列的公差为d，，，且，，成等比数列，
，
，
解得，
前6项的和为
.
故选：A
【点睛】本题考查求等差数列前n项和，属于基础题.
5.的内角的对边分别是，已知，，，则等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用余弦定理列方程求出a的值．
详解】由余弦定理得，即，所以，
故选B.
【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，属于基础题．
6.下列判断正确的个数是（ ）
①“若，则”的逆否命题为“若，则”；
②“，”的否定是“，”；
③函数的最小值为2；
④三内角成等差数列的充要条件是.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据逆否命题定义即可判断①；由全称命题的否定变换原则可判断②；根据基本不等式适用条件可判断③；由充要条件的定义可判断④；
【详解】对于①，“若，则”的逆否命题为：
“若，则”，故①正确；
对于②，“，”否定是“，”，故②正确；
对于③，当时，即，函数的最小值为2不正确，
故③错误；
对于④，三内角成等差数列，三个内角都可能为，即不一定成立，故④错误；
故选：B
【点睛】本题考查了四种命题、全称命题的否定、基本不等式适用的条件以及等差数列、充要条件的定义，属于基础知识的考查.
7.曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求导得到，故，计算切线得到答案.
【详解】，，，
所以切线方程为，即.
故选：.
【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.
8.已知数列的前n项和，而，通过计算，，，猜想等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算出、、，归纳推理出即可得解.
【详解】由题意，当时，即，解得；
当时，即，解得；
当时，即，解得；
可得出猜想，.
故选：B.
【点睛】本题考查了归纳推理的应用和数列与的关系，属于基础题.
9.函数的图象大致是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求函数的导数，可判断出函数的单调性和最大值，再分析四个答案中的图像，即得.
【详解】由题得，，当时，，函数增函数，当时，，函数为减函数，则当时，取最大值，，则选项正确.
故选：
【点睛】本题考查利用导数研究函数图像，涉及函数的单调性和极值.
10.如图所示的程序框图中循环体执行的次数是( )
A. 50 B. 49
C. 100 D. 99
【答案】B
【解析】
第1次中：i＝2＋2＝4，
第2次中：i＝4＋2＝6，…
第49次中：i＝2×49＋2＝100.
共49次．
11.如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
设过抛物线的焦点F的直线方程为，与抛物线的方程联立，即可求解的值，得到答案.
【详解】由题意，可得抛物线的焦点坐标为，
设直线的方程为，联立，得，
因为，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，其中解答中设出直线的方程，与抛物线的方程联立，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，根据题意可得函数在上单调递增，再将转化为，根据单调性即可求出的范围.
【详解】设，则，
∵，∴，
即函数在R上单调递增．
可转化为，即，
而函数在R上单调递增，，∴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用单调性解不等式，导数的运算和构造函数法的应用，考查学生的分析转化和计算能力，属于中档题.
填空题
13.命题“，”的否定是__________．
【答案】，．
【解析】
【分析】
全称改存在，再否定结论即可
【详解】命题“，”的否定是“，”
故答案为：，
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题
14.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了.”丁说：“我没抓到.”已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以判断值班的人是________.
【答案】甲
【解析】
【分析】
依题意，对各种情况分类讨论一一判断可得；
【详解】解：假如甲说的是真话，则乙、丙、丁都说假话，既然丁说假话，则丁抓到了，那么丙说的是真话，与假设矛盾；
假如乙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丙抓到了，则甲、丁没有抓到，甲与丁也说的是真话，与假设矛盾；
假如丙说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，即丁抓到了，则甲没有抓到，甲也说的是真话，与假设矛盾；
假如丁说的是真话，则甲、丙、丁都说假话，则甲抓到了，则丙、丁都没有抓到，符合题意；
故答案为：甲
【点睛】本题考查简单的合情推理，属于基础题.
15.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为
．
【答案】
【解析】
【详解】
16.已知函数的图象为曲线，若曲线不存在与直线平行的切线，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，因为曲线不存在与直线平行的切线，所以方程无解，即无解，设，则，所以单调递增，所以，所以实数的取值范围为.
考点：导数的几何意义.
【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，转化的数学思想，属于中档题.本题解答的关键是根据导数的几何意义把条件“曲线不存在与直线平行的切线”转化为导函数的方程无解，从而通过分类参数，构造新函数，通过研究新函数的单调性和值域得到参数的范围.
解答题（总分70分）
17.等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列公差为，由，求出公差，即可求出通项；
（2）根据通项公式，用裂项相消法，可求的前项和.
【详解】（1）设等差数列公差为，
由，
；
（2）
.
【点睛】本题考查等差数列通项的基本量的运算、裂项相消法求和，考查计算求解能力，属于基础题.
18.在中，角所对的边分别为且满足.
（1）求；
（2）若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理即可得到，即可求出，
（2）根据正弦定理可得，解得，再根据三角形的面积公式计算即可
【详解】（1）因为，即，
由余弦定理得，，
所以，即，
又因为，所以．
（2）因为，由正弦定理得，
因为，
所以，即，
又因为，所以．
由正弦定理可得，解得，
所以．
【点睛】此题考查正余弦弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键．
19.詹姆斯·哈登（James Harden）是美国NBA当红球星，自2012年10月加盟休斯顿火箭队以来，逐渐成长为球队的领袖．2017-18赛季哈登当选常规赛MVP(最有价值球员)．
年份
2012-13
2013-14
2014-15
2015-16
2016-17
2017-18
年份代码t
1
2
3
4
5
6
常规赛场均得分y
25.9
25.4
27.4
29.0
29.1
30.4
（Ⅰ）根据表中数据，求y关于t的线性回归方程（，*）；
（Ⅱ）根据线性回归方程预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．
【附】对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
(参考数据，计算结果保留小数点后一位）
【答案】（Ⅰ）.（，） （Ⅱ）32.4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得样本中心点，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：将代入线性回归方程，即可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分．
【详解】（1）由题意可知：，，
，
∴，
又，
∴y关于t的线性回归方程为.（，）
（2）由（1)可得，年份代码，
此时，所以，可预测哈登在2019-20赛季常规赛场均得分为32.4.
【点睛】本题考查利用最小二乘法求线性回归方程及线性回归方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
20.己知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点，当的面积为时，求实数的值．
【答案】（Ⅰ）：y2＝1；（Ⅱ）m
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据顶点坐标、离心率和的关系可求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，根据有两个交点可得，求得范围；联立后写出韦达定理的形式，代入弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得点到直线的距离，从而利用构造方程解得，验证符合的即为结果.
【详解】（Ⅰ）由题意知：，，则
椭圆的方程为：
（Ⅱ）设，
联立得：
，解得：
，
又点到直线的距离为：
，解得：
【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的应用，需要注意的是联立后要利用判别式大于零确定参数的取值范围.
21.已知函数，．
Ⅰ讨论函数的单调区间；
Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1) 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)
【解析】
【详解】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；
（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值
详解：
（1）在区间上， ，
当时， 恒成立， 在区间上单调递减；
当时，令得，
在区间上，，函数单调递减，
在区间上，，函数单调递增.
综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是
（2）因为函数在处取得极值，
所以，解得，经检验可知满足题意
由已知，即，
即对恒成立，
令，
则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为
22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线C相交于点M，N两点．
（1）求曲线C的平面直角坐标系方程和直线l的普通方程；
（2）求的值．
【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由，将极坐标方程转化为直角坐标方程，通过消参，将参数方程化为普通方程即可；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义，即可求得
的值.
【详解】（1）由，得，∴．
即曲线C的直角坐标方程为．
消去参数t，得直线l普通方程．
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得，
由韦达定理，得，，所以，同为正数，
则.
【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的转化、参数方程和普通方程的转化以及参数方程的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.