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- 2021-04-14 发布
9.6
曲线与方程
高考理数
考点 曲线与方程
考点清单
考向基础
1.“曲线的方程”与“方程的曲线”
在直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的
点与一个二元方程
f
(
x
,
y
)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做
曲线
的方程
,这条曲线叫做
方程的曲线
.
事实上,曲线可以看作一个点集
C
,以二元方程的解作为坐标的点也组成一
个点集
F
.上述定义中,
⇔
C
=
F
.
2.求动点的轨迹方程的步骤
(1)
建系
——建立适当的坐标系;
(2)
设点
——设轨迹上的任一点
P
(
x
,
y
);
(3)
列式
——列出动点
P
的坐标所满足的关系式;
(4)
化简
——注意化简前后的等价性;
(5)
证明
——证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程.
【知识拓展】
(1)求轨迹方程时,要注意检验曲线上的点与方程的解是不是一一对应的关
系,若不是,则应对方程加上一定的限制条件,检验可以从以下两个方面进
行:一是方程的化简是不是同解变形;二是是否符合题目的实际意义.
(2)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程,然
后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
(3)在求轨迹问题时常用的数学思想
(i)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程是将几何条件(性质)表示为动
点坐标
x
、
y
的方程及函数关系;
(ii)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机
结合;
(iii)等价转化思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时
又需要相互转化.
考向突破
考向 曲线与方程
例
(2019柳铁一中2月月考,15)如图所示,动点
M
与两定点
A
(-1,0)、
B
(2,0)
构成△
MBA
,且∠
MBA
=2∠
MAB
,设动点
M
的轨迹为
C
,则轨迹
C
的方程为
.
解析
(直译法求轨迹方程)设
M
的坐标为(
x
,
y
),显然有
x
>0,且
y
≠
0.
当∠
MBA
=90
°
时,点
M
的坐标为(2,
±
3).
当∠
MBA
≠
90
°
时,
x
≠
2,由∠
MBA
=2∠
MAB
,得tan∠
MBA
=
,即
-
=
,化简可得3
x
2
-
y
2
-3=0,即
x
2
-
=1.
经检验,点(2,
±
3)在曲线
x
2
-
=1上.
综上可知,轨迹
C
的方程为
x
2
-
=1(
x
>1).
答案
x
2
-
=1(
x
>1)
方法
求轨迹方程的方法
1.
直接法
:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系,或这
些几何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含
x
、
y
的等式,就得到轨迹方程.由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤,也
不需要特殊的技巧,所以称为直接法.
2.
待定系数法
:若曲线的形状和方程的形式确定,则只需解方程(组)即可,称
为待定系数法.
3.
定义法
:根据解析几何中一些常用定义(例如:圆、椭圆、双曲线、抛物
线的定义),从定义出发直接写出轨迹方程,或从定义出发建立关系式,从而
求出轨迹方程.
方法技巧
定义法求轨迹方程的一般步骤:
(1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义;
(2)设标准方程,求方程中的基本量;
(3)求轨迹方程.
4.
代入法(相关点法)
:有些问题中,动点满足的条件不便用等式列出,但动点
是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动的.如果相关点的坐标所满
足的条件是明显的或是可分析的,那么我们可以用动点坐标表示相关点坐
标,根据相关点的坐标所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹
方程的方法叫做代入法,又叫相关点法或坐标代换法.
相关点法求轨迹方程的一般步骤:
(1)分析题目:与动点
M
(
x
,
y
)相关的点
P
(
x
0
,
y
0
)在已知曲线上运动;
(2)寻求关系式
x
0
=
f
(
x
,
y
),
y
0
=
g
(
x
,
y
);
(3)将
x
0
,
y
0
代入已知曲线方程;
(4)整理关于
x
,
y
的关系式得
M
的轨迹方程.
5.
参数法
:有时动点应满足的几何条件不易得出,也无明显的相关点,但却较
易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜
率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(
x
,
y
)中的
x
、
y
分别随另一变
量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这种方
法叫参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可.在选择参
数时,选用的参变量可以具有某种物理或几何性质,如时间、速度、距离、
角度、有向线段的数量、直线的斜率、点的横、纵坐标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.
6.
交轨法:
求两条动曲线(含直线)的交点的轨迹方程时,可引入参数
t
,用
t
分
别表示两条动曲线的方程,联立它们消去
t
便得交点的轨迹方程,此方法称
为交轨法.
例
(2017课标Ⅱ,20,12分)设
O
为坐标原点,动点
M
在椭圆
C
:
+
y
2
=1上,过
M
作
x
轴的垂线,垂足为
N
,点
P
满足
=
.
(1)求点
P
的轨迹方程;
(2)设点
Q
在直线
x
=-3上,且
·
=1.证明:过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的
左焦点
F
.
解题导引
解析
(1)设
P
(
x
,
y
),
M
(
x
0
,
y
0
),
则
N
(
x
0
,0),
=(
x
-
x
0
,
y
),
=(0,
y
0
).
由
=
得
x
0
=
x
,
y
0
=
y
.
因为
M
(
x
0
,
y
0
)在
C
上,所以
+
=1.
因此点
P
的轨迹方程为
x
2
+
y
2
=2.
(2)证明:由题意知
F
(-1,0).设
Q
(-3,
t
),
P
(
m
,
n
),则
=(-3,
t
),
=(-1-
m
,-
n
),
·
=3+3
m
-
tn
,
=(
m
,
n
),
=(-3-
m
,
t
-
n
).
由
·
=1得-3
m
-
m
2
+
tn
-
n
2
=1,
又由(1)知
m
2
+
n
2
=2,故3+3
m
-
tn
=0.
所以
·
=0,即
⊥
.
又过点
P
存在唯一直线垂直于
OQ
,所以过点
P
且垂直于
OQ
的直线
l
过
C
的左
焦点
F
.