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- 2021-04-14 发布
典型高考数学试题解读与变式2018版
考点50 与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题
【考纲要求】
理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
【命题规律】
离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度．
【典型高考试题变式】
与离散型随机变量的分布列、均值相结合的综合问题
例1.【2017课标3】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶
6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【分析】（1）所有的可能取值为200,300,500，利用题意求得概率即可得到随机变量的分布列；
（2）由题中所给条件分类讨论可得n=300时，Y的数学期望达到最大值，为520元.
【解析】（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
0.2
0.4
0.4
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
【名师点睛】离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值以及取各值的概率；要理解两种特殊的
概率分布——两点分布与超几何分布，并善于灵活运用两性质：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1检验分布列的正误.
【变式1】【2018河南省漯河市模拟】汽车店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等。某品牌汽车店为了了解， ， 三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取100辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示1.表1
（1）某公司一次性从店购买该品牌， ， 型汽车各一辆,记表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).
（2）该品牌汽车店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表2.
预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从的关系,且该产品的成本是500元/件,为使4S店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多少元？
表1
车型
频数
20
20
40
表2
单价 (元)
800
820
840
850
880
900
销量 (件)
90
84
83
80
75
68
【解析】（1）根据表格, 型车维修的概率为, 型车维修的概率为, 型车维修的概率为.
由题意, 的可能值为0,1,2,3,
所以 ；
；
所以的分布列为
0
1
2
3
所以 .
【变式2】【2018四川省德阳市三校联合测试】为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围（度）
（0,210]
（210,400]
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.学！
【解析】（1）元,
设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3,
,
,
故的分布列是
0
1
2
3
所以 ,
可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知
,
,解得， ,
所以当时，概率最大，所以.
【数学思想】
① 数形结合思想．
② 函数方程思想．
③ 转化与化归思想.
【温馨提示】
均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差 研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策．
【典例试题演练】
1.【2017河南百校联考】小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设猜中的概率分别为，且是否猜中互不影响．
（1）求恰好获得4元的概率；
（2）设获得的金额为元，求的分布列；
（3）设获得的金额为元，获得的金额为元，判断所获得的金额的期望能否超过的期望与的期望之和．
（3）的可能取值为0，4，6；的可能取值为0，4．
因为，
，
所以，
所以，
又，
由于，所以所获得的金额的期望能超过的期望与的期望之和．
2.【2016洛阳市统一考试】今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：
日期
天气
2月13日
2月14日[ :学+ + ]
2月15日
2月16日
2月17日
小雨
小雨
阴
阴转多云
多云转阴
销售量
上午
42
47
58
60
63
下午
55
56
62
65
67
由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.
（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；
（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；学
（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?
【解析】（1）由已知得如下茎叶图，中位数为.
（2）设明年庙会期间下雨天数为，则的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，且～，
所以，
所以估计明年庙会期间，可能有2天下雨，3天不下雨，
据此推测庙会期间该摊点能售出的玩具件数为.
3.一个口袋中有2个白球和n个红球(n≥2，且n∈N )，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率；
（2）若n＝3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值？
【解析】（1）一次摸球从n＋2个球中任选两个，有C种选法，其中两球颜色相同有C＋C种选法，因此一次摸球中奖的概率为＝.
（2）若n＝3，则一次摸球中奖的概率为，三次摸球是独立重复试验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是C··(1－)2＝.
（3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球恰有一次中奖的概率是f(p)＝C·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0＜p＜1.
因为f′(p)＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，
所以f(p)在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数，
所以当p＝时，f(p)取最大值，
所以p＝＝(n≥2，且n∈N )，所以n＝2.
故n＝2时，f(p)取最大值．
4.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
（2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找均值为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.
对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.
以下是对两个方案的分析：
对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1
20
60
100
P
X1的均值E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，
X1的方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.
对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2
40
60
80
P
X2的均值E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，
X2的方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
5.(2016·全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
【解析】（1）由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4，0.2,0.2.
从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
6.【2018四川省乐山外国语学校模拟】某公司每个工作日由位于市区的总公司向位于郊区的分公司开一个 回的班车（每年按200个工作日计算），现有两种使用班车的方案，方案一是购买一辆大巴，需花费90万元，报废期为10年，车辆平均每年的各种费用合计5万元，司机年工资6万元，司机每天请假的概率为0.1（每年请假时间不超过15天不扣工资，超过15天每天100元），若司机请假则需从公交公司雇佣司机，每天支付300元工资.方案二是租用公交公司的车辆（含司机），根据调研每年12个月的车辆需求指数如直方图所示，其中当某月车辆需求指数在时，月租金为万元.
（1）若购买大巴，设司机每年请假天数为，求公司因司机请假而增加的花费（元）及使用班车年平均花费（万元）的数学期望.
（2）试用调研数据，给出公司使用班车的建议，使得年平均花费最少.
【解析】（1）由已知，当时， ，
当时，
所以
由已知，所以
所以（万元）学