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- 2021-04-14 发布
双鸭山市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试题
数学理
说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 椭圆的一个焦点坐标是（ ）
A. （0，2） B. （2，0） C. （ ，0） D. （0， ）
2．已知命题，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ）
A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，2
4.把四封不同的信投到三个不同的信箱里，有（ ）种不同的投放的方式
A．4 B．12
C．64 D．81
5.与二进制数相等的十进制数是（ ）
A．6 B．7
C．10 D．11
6.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为63,98，则输出的（ ）
A．9 B．3 C．7 D．14
7.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥B1D1
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1成角为60°
8. 已知点在抛物线上，点，为该抛物线的焦点，则周长的最小值为
A.9 B．10 C. 11 D. 12
9. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ； B ； C ； D
10. 若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
11.命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）[来源:学+科+网]
A． B． C． D．
12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过点作圆的弦,其中最短的弦长为__________ .
14.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为 .
15. 如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是
16．已知圆，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17. (本小题满分10分)
已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题关于的方程无实根，若“”为假命题，“”为真命题.求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)
某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称
销售额（千万元）
3
5
6
7
9
利润额（千万元）
2
3
3
4
5
（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额对销售额的回归直线方程；
（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
附：线性回归方程中，，.
19．(本小题满分12分) 已知椭圆经过点, ，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第一象限，且,求点的横坐标的取值范围；
20.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：
喜欢数学课
不喜欢数学课
合计
男
30
60
90
女
20[来源
90
110
合计
50
150
200
（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？
（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？
（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率。
附：。
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点．
（1）证明：直线平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值．
22. (本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点
的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.[当点的横
坐标为时，.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点.
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
高二年级数学试题答案（理）
1----12 BBDDA CDCAD AC
13. 14. 15. 16.
17、
∵方程表示焦点在轴上的椭圆.
∴，
解得：，
∴若命题为真命题，求实数的取值范围是；
若关于的方程无实根，则判别式，
即，得，
若“”为假命题，“”为真命题，则、为一个真命题，一个假命题，
若真假，则，此时无解，
若假真，则，得.
综上，实数的取值范围是.
18. （1）设回归直线的方程是：，，
∴
，
∴对销售额的回归直线方程为：；——————8分
（2）当销售额为4（千万元）时，利润额为：（千万元）. ———
12分
19.
20解：（1）∵，
∴有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”。
（2）男生抽取的人数有：（人）；
女生抽取的人数有：（人）。
（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，记为，，；女生抽取的人数为2人，记为，。
从这5人中任取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，共10种；
记“恰有一男一女”为事件，则事件包含的结果有，，，，，，共6种，
∴。
21．（1）取的中点，连结，。
因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。
又平面，平面，故平面。
（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
,，
设则
，
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，
所以， ，
即。 ①
又M在棱PC上，设,则
。 ②
22（I）由题意知.设.因为，由抛物线的定义知，解得或（舍去）.由解得.所以抛物线的方程为.………….. 4分
（II）(i)由（I）知，设，因为,
则，由得，故.故直线的斜率.
因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程
得，由题意，得.设，则，，当时，，可得直线的方程为
，
由，整理可得，直线恒过点.………….. 7分
当时，直线的方程为，过点.………….. 8分
（ii）由(i)知直线过焦点，所以
.设直线的方程为，因为点在直线上，故，设，直线的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得.所以
，可求得，所以点到直线的距离为
.………….. 10分
则的面积，当且仅当，即时等号成立.所以的面积的最小值为.………….. 12分