重庆市2021届高三上学期第一次预测性考试数学试题(学生版） 5页

2021 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（预测卷一） 一、单选题.本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 4 个选项中，有且只有 一项是符合题目要求. 1．设集合 M = x  x2 ≤ 4  ，集合 N = x  1 ≤ x ≤ 2  ，则 CMN =（ ） A. x  - 2 ≤ x ＜ 1  B. x  - 2 ， -1 ， 0  C. x  x ≤ - 2  D. x  0 ＜ x ＜ 2  2．若复数 Z 满足 Z(1 - i) = 2i，则下列说法正确的是（ ） A.Z 的虚部为 i B.Z 为实数 C. Z  = 2  D.Z + Z  = 2i 3． 2020 年 4 月 20 日重庆市高三年级迎来了疫情后的开学工作，某校当天为做好疫情防护工 作，安排甲、乙、丙、丁四名老师在校门口的三个点为到校学生进行检测及其它相关的服 务工作，要求每个点至少安排一位老师，且每位老师恰好选择其中一个点，记不同的安排 方法数为 n，则满足不等式 C 2 n ≤ m(m − 1) 2  的最小正整数 m 的值为（ ） A.36 B.42 C.48 D.54 4．《九章算术（卷第五） • 商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤 七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”．译文为：“今有上 下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2 丈，长 7 丈；下底宽 8 尺，长 4 丈，深 6 丈 5 尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注： 1 丈 = 10 尺．） A.45000 立方尺 B.52000 立方尺 C.63000 立方尺 D.72000 立方尺 5． 2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并 派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有 4 个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件 A = “4 个医疗小组 去的国家各不相同”，事件 B = “小组甲独自去一个国家”，则 P(A/B)（ ） A.2 9  B. 1 3  C.4 9  D.5 9  6．习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康 社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康．为响 应习总书记的号召，某村准备将一块边长为 2 km 的正三角形空地（记为 △ ABC）规划为公园，并用一条垂直于 BC 边的小路（宽度不计）把空地分 为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主．如图， BC ∥ x 轴， 小路记为直线 x = m(0 ＜ m ＜ 2)，小路右侧为健身休闲区，其面积记为 f(m)，则函数 S = f(m) 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7．已知 BC 是圆 O : x2 + y2 = 4 的直径， H 为直线 x + y = 4 上任意点．则 HB  ·HC  的最小值为 （ ） A.2 2  - 4 B.2 2  C.4 D.8 8．若函数 f (x) = ae 2x + (a − 2)e x − x, a ＞ 0，若 f (x) 有两个零点，则 a 的取值范围为 （ ） A. 0 ， 1  B. 0 ， 1  C. 1 e  ， e     D. 1 e  ， e      二、多选题.本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9．已知 F1， F2 分别是双曲线 C： x2 − y2 = 1 的左、右焦点，点 P 是双曲线上异于双曲线顶点 的一点，且向量 PF1  ·PF2  = 0，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y = ± x B. 以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2 + y2 = 1 C.F1 到双曲线的一条渐近线的距离为 1 D. △ PF1F2 的面积为 1 10．已知函数 f(x) = sin2x − 2sin2x + 1，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数 f(x) 的最小正周期是 2π B. 函数 f(x) 在区间 π 8  ， 5π 8       上是减函数 C. 函数 f(x) 的图象关于直线 x = π 8  对称 D. 函数 f(x) 的图象可由函数 y = 2  sin2x 的图象向左平移 π 4  个单位得到 11．设正项等差数列 an  满足 (a1 + a10)2 = 2a2a9 + 20，则（ ） A.a2a9 的最大值为 10 B.a2 + a9 的最大值为 2 10  C. 1 a2 2  + 1 a2 9  的最大值为 1 5  D.a4 2 + a4 9 的最小值为 200 12．下列命题中，正确的命题的是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布 B(n, p)，若 E(x) = 30， V(x) = 20，则 P = 2 3  B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0, 1)，若 P(ξ ＞ 1) = p，则 P(-1 ≤ ξ ≤ 0) = 1 2  − p D. 某人在 10 次射击中，击中目标的次数为 X， X~ B(10， 0.8)，则当 X = 8 时概率最大 三、填空题.本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．直线 l : kx + b 与圆 C : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5 交于 A, B 两点， C 为圆心，若 CA  ·CB  = 2， 则 AB  = . 14．在 △ ABC 中，角 A, B, C 的对边 a, b, c 成等差数列，且 A − C = 90°，则 cosB = . 15．如图，在三棱锥 A − BCD 中，点 E 在 BD 上， EA = EB = EC = ED， BD = 2  CD， △ ACD 为正三角形，点 M ， N 分别在 AE， CD 上运动（不含端点）， 且 AM = CN ，则当四面体 C − EMN 的体积取得最大值 2 3  时，三棱锥 A − BCD 的外接球的表面积为 ． 16．斜线 OA 与平面 α 成 15° 角，斜足为 O， A' 为 A 在 α 内的射影， B 为 OA 的中 点， l 是 α 内过点 O 的动直线．若 l 上存在点 P1， P2 使 ∠ AP1B = ∠ AP2B = 30°， 则的 P1P2  AB   最大值是 ，此时二面角 A - P1P2 - A′ 的平面角的正弦值是 ． 四、解答题.本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤等. 17．（10 分）已知 1 sinα   = - 1 sinα ，且 lg(cosα) 有意义. （1）试判断角 α 所在的象限； （2）若角 α 的终边上一点 M(3 5 , m)，且 OM  = 1 （O 为坐标原点），求 m 的值及 sinα 的值. 18．（12 分）已知命题 P： ∃ x ∈ x  − 1 ＜ x ＜ 1  ，使 x2 − x − m = 0。不等式 (x − a) (x + a − 2) ＜ 0 的解集为 N，不等式 x + 1 x − 2  ≤ 0 的解集为 Q. （1）若 P 为真命题，求实数 m 的取值集合 M； （2）若 x ∈ N 是 x ∈ Q 的必要条件, 求实数 a 的取值范围． 19．我市今年参加高考的考生是首次取消文理科后的新高考考生，新高考实行“3 + 2 + 1”， 成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考 试科目成绩构成。为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查 50 人（把年龄在 15 ， 45  称为中青年，年龄在 45 ， 75  称为中老年），并把调查结果制成下表： 年龄（岁） 15 ， 25  25 ， 35  35 ， 45  45 ， 55  55 ， 65  65 ， 75  频数 5 15 10 10 5 5 了解 4 12 6 5 2 1 （1）请根据上表完成下面 2 × 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为对新高考的了解与年 龄（中青年、中老年）有关？ 了解新高考 不了解新高考 总计 中青年 中老年 总计 附： K 2 = n(ad − bc)2 (a + b) (c + d) (a + c) (b + d) . P(k2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行深入调 查，求事件 A：“恰有一人年龄在 45 ， 55  ”发生的概率. 20．（12 分）如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 = 1． （1）求证： BD ⊥ A1C； （2）求证：平面 BDC1 ⊥ 平面 A1B1C； （3）用一张正方形的纸把正方体 ABCD - A1B1C1D1 完全包住，不将纸撕开，求所需纸的 最小面积．（结果不要求证明） 21．（12 分）已知函数 f(x) = x − 1， g(x) = lnx + 1． （1）求证： f(x) = g(x) 有两个不同的实数解； （2）若 g(x) ＞ [m − g(x)]f(x) 在 x ＞ 1 时恒成立，求整数 m 的最大值． 22．（12 分）已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 = 1(a ＞ b ＞ 0) 的离心率为 3  3 ，以原点为圆心，椭圆短半轴 长为半径的圆与 y = x + 2 相切． （1）求 a 与 b； （2）设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2，直线 l 过 F2 且与 x 轴垂直，动直线 l2 与 y 轴 垂直， l2 交 l1 与点 P．求 PF1 线段垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程，并说明曲线类 型．