黑龙江省大庆市实验中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题 21页

www.ks5u.com 大庆实验中学2019—2020学年度高一上学期月考 数学试题 一.选择题（每小题5分，共60分，每个题目只有一个选项是正确的）‎ ‎1.已知集合则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；‎ 当x＝2时，y＝3×2－2＝4；‎ 当x＝3时，y＝3×3－2＝7；‎ 当x＝4时，y＝3×4－2＝10.‎ 即B＝{1,4,7,10}．‎ 又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.‎ ‎2.下列各组函数表示同一函数的是（　　）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析四组函数的定义域和解析式是否一致，结合同一函数的定义，可得答案．‎ ‎【详解】解：A中，，，‎ 故A中两个函数不是同一函数；‎ B中, 的定义域为，的定义域为，‎ 故B中两个函数不是同一函数；‎ D中，的定义域为，，的定义域,故D中两个函数不是同一函数；‎ C中，和的定义域均为，且对应关系一致，‎ 故C中两个函数表示同一函数；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可,必须同时满足,属于基础题．‎ ‎3.函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据被开方式与分母的限制建立不等式组即可得到结果.‎ ‎【详解】由函数的解析式可知：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴函数的定义域为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于常考题型.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) ‎ 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4.已知函数，则 A. 是奇函数，且在R上是增函数 B. 是偶函数，且在R上是增函数 C. 是奇函数，且在R上是减函数 D. 是偶函数，且在R上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：讨论函数的性质，可得答案.‎ 详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，‎ 又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数。‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.‎ ‎5.函数的单调递增区间为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数单调性的判断规则，要求原函数的单调增区间，只需求指数部分的单调增区间．‎ ‎【详解】设u（x）＝2x2﹣3x+1，对称轴为x＝，‎ 则u（x）在（﹣∞，）单调递减，在（，+∞）单调递增，‎ 而，底∈（1，+∞），‎ 所以，u（x）的单调性与的单调性相同，‎ 即在（﹣∞，）单调递减，在（，+∞）单调递增，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合函数单调性，涉及二次函数和指数函数的单调性，属于基础题．‎ ‎6.设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则的大小关系是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）是定义在R上的偶函数，将f（﹣2），f（π），f（﹣3）中的自变量转化为同一个单调区间[0，+∞）上，再比较大小即可．‎ ‎【详解】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（﹣2）＝f（2），f（﹣3）＝f（3）；‎ 又∵当x∈[0，+∞）时，f（x）是减函数，‎ 且2＜3＜π；‎ 则f（2）＞f（3）＞f（π）；‎ 故f（﹣2）＞f（﹣3）＞f（π）；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．‎ ‎7.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的奇偶性可得，再利用函数的单调性可得，从而得解.‎ ‎【详解】函数为奇函数，且，所以.‎ 所以等价于.‎ 由函数在上单调递减，可得，解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.‎ ‎8.设，若f()＝f(＋1)，则＝(　 　)‎ A. 8 B. 6 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件，求出的值，然后求解所求的表达式的值，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，当时，，若，可得，‎ 解得，则；‎ 当时，，若，可得，显然无解，‎ 综上可得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中分类讨论由题设条件，转化为的方程，求解的值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理、运算能力，属于中档试题.‎ ‎9.设，且，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得，由等式（）两边取对数，可得，所以可得，选A.‎ ‎【点睛】‎ 指数式的等式常与对数式互化把指数表示出，再进行合理运算。如本题把指数利用指数式与对数式互化用m表示，从而进行运算。‎ ‎10.集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用条件B⊆A，建立a的不等式关系即可求解．‎ ‎【详解】若B＝∅，即＜a﹣1，即a＜0时，满足B⊆A，‎ 若B≠∅，即≤2a﹣1，即a≥0时，‎ 要使B⊆A，‎ 则满足，解得 综上：，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，利用数轴是解决此类问题的基本方法．‎ ‎11.已知函数，且是单调递增函数，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数以及一次函数的图像与性质求出a的范围即可．‎ ‎【详解】解：由是单调递增函数，可知：‎ ‎，‎ 解得：‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，考查函数的单调性，注意分界点处函数值的关系.‎ ‎12.记不大于的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求出的最大值，结合新函数的定义即可得到结果.‎ ‎【详解】令，则 ‎∴，故 又不等式恒成立，‎ ‎∴‎ 当时，，∴‎ 当时，，∴‎ ‎∴实数的取值范围是 故选：B ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查根式型函数的最值，考查学生对新定义的理解，属于中档题.‎ 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.计算：_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：＝．‎ 考点：1、指数与对数的运算；2、换底公式．‎ ‎14.已知函数在区间上的最大值是，则实数的值为____________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数自变量离对称轴越近函数值越大来解题．‎ ‎【详解】解：∵y＝f（x）＝﹣（a2﹣a），对称轴为x，‎ ‎（1）当01时，即0≤a≤2时，f（x）max（a2﹣a），‎ 由（a2﹣a）＝得a＝﹣2或a＝3与0≤a≤2矛盾，不合要求，‎ ‎（2）当0，即a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递减，f（x）max＝f（0），由f（0）＝‎ 得，解得a＝﹣6，‎ ‎（3）当1，即a＞2时，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）max＝f（1），‎ 由f（1）＝得：﹣1+a，解得a，‎ 综上所述，a＝﹣6或a ‎【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论，属于中档题．‎ ‎15.函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（用区间表示）__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，结合图象可知实数的取值范围 ‎【详解】作出函数的图象：‎ 由图可知，若函数的图象不经过第二象限，则将至少向下移动2个单位，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了与指数相关的函数的图像与性质，考查了图像平移变换，属于中档题．‎ ‎16.已知函数（其中为常数，，且）的图象经过.若不等式在上恒成立，则实数的最大值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用待定系数法求得函数表达式，进而构造函数，让最小值大于等于零即可.‎ ‎【详解】由已知可得，，‎ 解得a＝3，b＝2，‎ 即不等式在上恒成立，‎ 设，‎ 显然函数在上单调递减，‎ ‎∴‎ 故≥0，即 ‎∴实数的最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ 三.解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知全集 ‎（1）求；‎ ‎（2）若求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合B，进行集合间的交并补运算即可；‎ ‎（2）由可知，布列不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，‎ ‎（2）‎ 的取值范围是 ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查子集间的包含关系，考查计算能力，属于容易题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）用定义证明在上是增函数；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义证明函数的单调性；‎ ‎（2）由（1）知，在单调递增，从而可得值域.‎ ‎【详解】(1)证明：‎ 任取，且 即 在单调递增 ‎（2）由（1）知，单调递增 在上的值域是 ‎【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎19.若二次函数满足，且 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设，求在上的最小值的解析式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法得到的解析式；‎ ‎（2），对称轴为，讨论轴与区间端点的关系即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 由已知：‎ 又 ‎（2）‎ 对称轴为 ‎①当即时 在上单调递增 ‎②当即时 在上单调递减 ‎③当即时 在单调递减，在单调递增 综上可知:‎ ‎【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.‎ ‎20.设函数是定义在上的奇函数，当时，‎ ‎（1）确定实数值并求函数在上的解析式；‎ ‎（2）求满足方程的的值.‎ ‎【答案】（1），（2）或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数定义即可得到的值及函数在上的解析式；‎ ‎（2）分成两类，解指数型方程即可得到结果.‎ ‎【详解】（1）是定义在上的奇函数 当时，‎ ‎，‎ 当时，‎ 设，则 ‎（2）当时，，‎ 令，得 得 解得 是定义在上的奇函数 所以当x<0时的根为：‎ 所以方程的根为：‎ ‎【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎21.定义在上的函数对任意都有，且当时，‎ ‎（1）求证:为奇函数；‎ ‎（2）求证:为上的增函数；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；‎ ‎（2）利用定义证明函数的单调性；‎ ‎（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式具体化，利用换元法，转化为一个关于k的二次不等式，求最值即可得到k的取值范围．‎ ‎【详解】(1)证明：令，得得 令，得 为奇函数 ‎（2）任取且 即 是的增函数…‎ ‎（3）‎ 是奇函数 是增函数 令，下面求该函数的最大值 令 则 当时，有最大值，最大值为 的取值范围是 ‎【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．‎ ‎22.定义：若函数在某一区间上任取两个实数，都有，则称函数在区间上具有性质.‎ ‎（1）试判断下列函数中哪些函数具有性质（给出结论即可）‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎（2）从（1）中选择一个具有性质的函数，用所给定义证明你的结论.‎ ‎（3）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）②④具有性质（2）详见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数图像及定义即可作出判断；‎ ‎（2）利用新定义证明即可；‎ ‎（3）任取，则0，只需要恒成立，故可求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）②④具有性质 ‎（2）如果选择证明如下：‎ 任取两个实数 ‎②具有性质 如果选择④同理可证 ‎（3）由于在区间上具有性质 任取，‎ ‎，所以a的取值范围为 ‎【点睛】本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．‎ ‎ ‎ ‎ ‎