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- 2021-04-14 发布
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中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 9 月测试
文科数学（一卷）答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C D C C A B A B C D
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 7
15
14. ( ,0 ) (4 ,9 )−
15. 2
16.
3
8
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17.（12 分）
17.解：（1）在△ ABC 中，由 cos5
cos
Aca
Bb
−= 可得， cos ( 5 )cosb A c a B=− ，
又由正弦定理可知，sin cos ( 5sin sin )cosB A C A B=− ， ………………2 分
即sin()5sincosABCB+= ，
因为sin()sin0ABC+= ，所以 5cos 5B = ，则 25sin 5B = . …………4 分
所以 π π π 10coscos()cos()cos cossin sin 44410AB CBBB= −+= −+= −+= .…6 分
（2） 在△ 中， 310sin 10A = ， ……………………………7 分
由正弦定理可知，
sin sin
bc
BC= ，所以 sin52
sin4
bCc B==， ………………10 分
所以△ 的面积 1 15sin28S bc A==. ……………………………12 分
18.（12 分）
解：（1）由题 意可 知，高三一班学 生的总 数为 8 =500.016 10
， 3 =0.0065010a =
，
0.100 0.006 0.010 0.016 0.040 0.028b = − − − − = . ……………………………6 分
（2）由题意可知，分数在[80,90) 内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ，
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分数在 [90 ,100] 内的学生有 3 人，记这 3 人分别为 1b ， 2b ， 3b . …………………8 分
抽取的 2 名学生的所有情况有 28 种，分别为：
（ 1a ， 2a ），（ ， 3a ），（ ， 4a ），（ ， 5a ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ，
），
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
（ ， ），
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
（ ， ），
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ……………………………10 分
其中这 2 名同学的分数都不在 内的情况有 10 种，分别为：
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
（ ， ），（ ， ），（ ， ）， ……………………………11 分
所以抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率为 1091 2814−=. ……12 分
19.（12 分）
证明：
（1）连结 AC 交 BD 于 O ，连结 OE ，由 ABCD 为平行四边形，
可知 为 AC 的中点，
在△ ACP 中， //OEPA ， ……………………2 分
OE 平面 B D E ， PA 平面 ，
所以 //PA 平面 ． ……………………………4 分
（2）根据 AB 为半圆的直径， D 在半圆上，可得 90ADB= ，
即 ADBD⊥ ， …………………………5 分
由 PD ⊥ 平面 ABCD ， AD 平面 ， CD 平面 ，所以 PDAD⊥ ，
PDCD⊥ ，
PD BD D= ，所以 AD ⊥ 平面 PBD ， ……………………………7 分
又 //ADBC ，所以 BC ⊥ 平面 ， PB 平面 ，所以 BCPB⊥ ，…………8 分
在 Rt △ PBC 中，E 为 PC 的中点，所以 1
2BEPC= ，同理， 1
2DE PC= ，故 BE DE= ，
在 △ PAD 中， 2PA = ，故 2
2OE = ，在 △ ABD 中， 3BD = ，
在等腰△ 中， 1 1 2 632 2 2 4BDES BD OE = = = ，…………………………10 分
第 19 题
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由 PD ⊥ 平面 ABCD ， E 是 PC 的中点，则 到平面 的距离为 1
2 PD ，
设点 C 到平面 B D E 的距离为 h ，则由 CBDEEBCDVV−−= ，得：
111
332BDEBCDShSPD= ，得 2
2h = ，
即点 到平面 的距离为 2
2
． …………………………12 分
20.（12 分）
解：（1）由题意可知 ，故 ， ……………………………1 分
设 ( 0)c ，则
2
( , )3
bBc−− ，代入 ，得 22 6 0cb− + − = ，又
222b a c=−，
所以 ， ……………………………2 分
解得 ，或 （舍），故 ，
所以椭圆 的方程为 ． ……………………………4 分
（2）设坐标原点为 ，由于
，则 ，故
， ……………………………6 分
由题意可知 ，设直线 的方程为 2()3k ， ， ，
则 ，得 ， ……………………………7 分
所以 ， ，
又 ， ，得 ， ……………………………8 分
则 （*），消去 可得： ，………………9 分
(3 ,0)A 3a =
1 ( ,0 )Fc− 2 3 6 0xy− − =
2 2 3 0cc+ − =
1c = 3c =− 22b =
E
22
198
xy+=
O
1
1 || || sin || ||3||2
1 || |||||| || sin2
PMA
PBN
PAPMAPMS AOPMPM
SOFPNPN PBPNBPN
====
||
||3
PM
PN
=
3PMPN =−
(0,2)P − MP 2ykx=− 11(,)Mxy 22(,)Nxy
22
198
2
xy
ykx
+=
=−
22(98)36360kxkx+−−=
12 2
36
98
kxx k+= + 12 2
36
98xx k
−= +
11(,2)PMxy=+ 22(,2)PNxy=+ 123xx=−
2 2
2
2 2
36(1 )3 9 8
36
3 9 8
kx k
x k
−= + −−= +
2x
22
2
(3 ) 36
3 9 8
k
k
− = +
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由于 ，则 ，
，解得 ，或 ．………………11 分
又根据 在第一象限，所以 ， ，根据（*）式，
，可知 ，得 ，
综上可知， 的取值范围是 ． …………………………12 分
21.（12 分）
解：（1）由题意可知， 3()f x x = 的“ (2)S 点”中常数 ，
设 3( , )A t t ， 3
28( , )B tt
， A ，B 为函数 ()y f x= 图象上相异两点，故 0t ，且 2t ，
由于 2( ) 3f x x = ，所以函数 在 A ， B 两点处的切线方程分别为：
2332ytxt=−， 23
12 16yxtt=−， ……………………………2
分
联立
23
23
32
1216
ytxt
yxtt
=− =−
，消去 x ，得 42(4 ) 8 (2 )t y t t− = − ，
所以 2
8
2
ty t= +
， ……………………………3 分
故 8
2y
tt
=
+
，由于 2 (,22)(22,)tt + − −+ ， ……………………………4 分
所以 (22 0)(0 22)y− ， ， ，
即函数 的“ 点”的纵坐标的取值范围是( 2 2 0) (0 2 2)− ， ， . ………5 分
（2）函数 ()lnfxx = 的“ (1)S 点”在第一象限.
由题意可知， 的“ (1)S 点”中常数 ，
设 (,ln)Att ， 11( ,ln )B tt
， ， 为函数 图象上相异两点，故 0t ，且 1t ，
由于 1()fx x
= ，所以函数 在 ， 两点处的切线方程分别为：
2
3k
2
22
36324 4(,4)98983
k
kk=−++
24 ( 3 ) 433
− 9 9 6 2 + 9 6 2 1 −
M 1 0x 2 0x
2 2
36(1) 398
kx k
−=+ 103
− 3
( 9 ,9 6 2)+
2k =
1k =
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1 l n 1y x t t= + − ， l n 1y tx t= − − ， ……………………………6 分
联立
1 ln 1
ln 1
y x tt
y tx t
= + −
= − −
，消去 y 得， 2
2 l n
1
ttx t= −
，
当 (0 , 1)t 时， ln 0t ， 2 10t − ，所以 0x ，
当 1t 时， l n 0t ， 2 10t − ，所以 ，
所以当 0t ，且 1t 时， . ……………………………7 分
故
22
22
2lnlnln1ln111
tttttyttt
+−+=+−=−−
， ……………………………8 分
令 22( ) ln ln 1g t t t t t= + − + ，当 时，则 1( ) 2 lng t t t tt
= + − ，
令 1()2lnhtttt t=+− ， ，则 2
1()2ln10htt t
=+− ， …………………10 分
故 在 (0,1) 上单调递减， ( ) ( ) (1) 0g t h t h ==，
故 ()gt 在 上单调递增， ()(1)0gtg =，即 22lnln10tttt +−+ ，…………11 分
又 2 10t − ，所以
22
2
ln ln 1 01
t t t ty t
+ − +=−
，
当 1t 时，同理 0y ，
所以函数 ()lnfxx = 的“ (1)S 点”在第一象限. ……………………………12 分
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.作答时请写清题号.
22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】（10 分）
解：（1）曲线 1C 的极坐标方程为： 2222cossin4cos0 +−= ，
即 4cos= . ……………………………2 分
曲线 2C 的普通方程为：
22
143
xy+=， ……………………………3 分
则曲线 的极坐标方程为：
2222cossin 143
+=，
即 2
2
12
3sin = +
. ……………………………5 分
（2）由（1）得：点 A 的极坐标为 π(2, )3
，点 B 的极坐标为 45π( , )53
， ………………6 分
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所以 451045||| 2| 55AB −=−= ， ……………………………7 分
(5,0)M 点到射线 π ( 0)3=的距离为 π 535sin 32d ==， ………………………9 分
所以△ M A B 的面积为
1110455353215||22522ABd −−== ． …………………………10 分
23．【选修 4−5：不等式选讲】（10 分）
解：（ 1）由题意可得：
3,1
1()51,1 3
13, 3
xx
fxxx
xx
−+−
=−−−
−
， ………………………………1 分
当 1x − 时， 34x− + ，得 1x − ，无解； ………………………………2 分
当 11 3x− 时， 5 1 4x− − ，得 ，即 11 3x− ； ………………………………3
分
当 1
3x 时， 34x − ，得 7x ，即 1 73 x ； ………………………………4 分
所以不等式的解集为：{ | 1 7}xx− ． ………………………………5 分
（2） ( )5|1| | 31| 3|1| | 31|| 33| 4f xxxxxx++=−++=−++ ，……………………………7 分
则根据题意可得： 2 54aa− + ， ………………………………9 分
解得： 14a． ………………………………10 分