天津市静海区独流中学四校联考2019-2020学年高二10月数学试题 14页

静海区2019—2020学年度第一学期10月份四校联考 高二年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分120分.考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.已知，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用作差比较法比较即得正确选项.‎ ‎【详解】=所以A选项是错误的.‎ ‎=所以B选项是错误的.‎ ‎=所以C选项是错误的.‎ ‎=所以D选项是正确的.‎ ‎.‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.‎ ‎2.命题“”的否定为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 命题“”的否定为：，故选A.‎ ‎3.若，且，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，，故答案为A．‎ 考点：基本不等式的应用．‎ ‎4.若等比数列的各项均为正数，，，则（ ）‎ A. B. C. 12 D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出．‎ ‎【详解】解：数列等比数列，各项均为正数，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 所以，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．‎ ‎5.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为所以因此因为双曲线的渐近线方程为所以该双曲线的渐近线方程是.‎ 考点：双曲线的渐近线方程 ‎6.两个等差数列和其前项和分别为，，且，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质得到，将代入表达式得到结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎， ‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】这个题目考查了等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎7.已知一条直线与椭圆交于A、B两点，弦AB恰好被点M（1，1）平分，则弦AB所在直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法，计算出直线的斜率，由此求得直线的方程.‎ ‎【详解】设，代入椭圆方程得，两式相减并化简得，即，即，也即直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查点差法的运用，属于基础题.‎ ‎8.“”是“”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由可得或.‎ 所以“”是“”成立的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎9.过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)‎ A. 8 B. ‎16 ‎C. 32 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan45°=1，从而得到直线的方程为y=x﹣2．直线方程与抛物线方程联解消去y得x2﹣12x+4=0，利用根与系数的关系可得x1+x2=12，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．‎ ‎【详解】∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．‎ ‎∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1‎ 可得直线方程为：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．‎ 设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联解，消去y得x2﹣12x+4=0，‎ ‎∴x1+x2=12，‎ 根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，‎ ‎∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题给出经过抛物线焦点的直线倾斜角为45°，求直线被抛物线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎10.已知双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线左支上有一点到右焦点距离为，为的中点，为坐标原点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得NO为△MF‎1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|.再利用双曲线的定义求出|MF1|＝8，所以|NO|＝4．‎ ‎【详解】由题得NO为△MF‎1F2的中位线，所以|NO|＝|MF1|.又由双曲线定义知，|MF2|－|MF1|＝10.因为|MF2|＝18，所以|MF1|＝8，所以|NO|＝4．‎ 故答案为D ‎【点睛】(1)本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在双曲线中，||PF1|－|PF2||＝‎2a＜|F‎1F2|.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎11.在等比数列中，已知，，则______‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比中项的性质列方程，解方程求得.‎ ‎【详解】由于成等比数列，所以，即.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比中项的运用，属于基础题.‎ ‎12.双曲线上一点A到点（5,0）的距离为15，则点A到点（−5,0）的距离为_________________.‎ ‎【答案】7或23‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程，写出实轴的长和焦点的坐标，根据双曲线的定义，得到两个关于要求的线段的长的式子，得到结果．‎ ‎【详解】双曲线，是双曲线的两个焦点，点在双曲线上， ，点到点的距离为，则点到点是或，故答案为或.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，是一个基础题，解题的关键是注意有两种情况，因为这里是差的绝对值是一个定值，不要忽略绝对值．‎ ‎13.虚轴长为2，离心率的双曲线两焦点为，，过作直线交双曲线于A、B两点，且，则的周长为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的虚轴长和离心率结合，求得.根据双曲线的定义求得的周长 ‎【详解】依题意，解得.由于，两式相加得，所以，所以的周长为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查双曲线中的三角形周长的计算，属于中档题.‎ ‎14.已知实数则的最小值是______‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式求得表达式的最小值.‎ ‎【详解】依题意，.当且仅当时等号成立，所以的最小值是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.‎ ‎15.已知椭圆的右焦点为F，左顶点是A，P在上，若是底角为30°的等腰三角形，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图像，解直角三角形得到的关系式，化简求得离心率.‎ ‎【详解】画出图像如下图所示，由图可知，，在中，，即，化简得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆离心率的求法，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎16.已知实数并且满足，若恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用基本不等式求得的最小值为，由此得到 ‎，解一元二次不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当且仅当，即，时，“﹦”成立 故 或 即m的范围为 ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项及前n项和列出方程组，求出首项公差即可（2）利用裂项相消法求出前项和.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ 解得，.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意知，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，裂项求和，属于中档题.‎ ‎18.已知数列的前项和为,且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用数列的递推关系式求出数列是等比数列，然后求数列的通项公式；（Ⅱ）化简，利用错位相减法求解数列的和，即可得到结果．‎ 详解】（Ⅰ）当时，，得，‎ 当时， ，得，‎ ‎∴数列是公比为的等比数列，‎ ‎∴ ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，又①‎ ‎∴②‎ 两式相减得： ，‎ 故，‎ ‎∴ ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎19.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点．‎ ‎（1）写出的方程; ‎ ‎（2）若∠AOB=90○，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的定义，求出的值，利用求得的值，由此求得轨迹的方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.利用，数量积为零，列方程，代入韦达定理进行化简，由此求得的值.‎ ‎【详解】（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，‎ 故曲线C的方程为．‎ ‎（2）设，其坐标满足 消去y并整理得，故．‎ 若∠AOB=90○，即．而，‎ 于是，化简得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义以及标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系.属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求 面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意可得： ，则椭圆方程为．‎ ‎ (2)分类讨论：①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设处直线的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为．‎ ‎（2）设，．‎ ‎①当轴时，．‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为．‎ 由已知，得．‎ 把代入椭圆方程，整理得 ，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ 当时，，综上所述．‎ 当时，取得最大值，面积也取得最大值．‎ ‎.‎