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- 2021-04-14 发布
2017届高三师大附中、临川一中联考
数学理科试题
命题人： 温茂林 许卫民 审题人： 张珍珍
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若复数，为的共轭复数，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，,那么集合（ ）
A. B. C. D.
3.若, , 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则在上的值域为 （ ）
A. B. C. D.
6.已知为奇函数，函数与的图像关于直线对称，若，则（ ）
A. B. 2 C. D. 4
7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
8. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的的值是 （ ）
输入x
计算的值
输出结果x
是
否
A． B． C． D．
9.已知数列、满足，其中是等差数列，且，则
（ ）
A. B. C. D.
10.在直角中,,为边上的点,若,则的最大值是( )
A. B. C. D.
11. 已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为 （ ）
A. 3 B. C. D. 4
12.已知 ，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。
13.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，
则等于 ．
14.若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为，则二项式的展开式中含项
的系数为______________.
15.已知变量满足约束条件 ，则的取值范围是______________
16. 下列说法中错误的是_______（填序号）
①命题“有”的否定是
“有”；
②已知 ，则的最小值为；
③设，命题“若，则”的否命题是真命题；
④已知， ，若命题为真命题，则的取值
范围是.
三、解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题12分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点，
成等差数列，且，求的值.
18. （本小题12分）
某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.
19. （本小题12分）
如图1，在中，是边的中点，现把沿折成如图2所示的三棱锥，使得．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20. （本小题12分）
已知右焦点为的椭圆与直线相交于、两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，，，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
21. （本小题12分）
已知函数，．
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积.
23.选修4－5：不等式选讲
（1）设函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知正数满足，求的最小值.
2017届高三师大附中、临川一中联考
数学理科试题参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
C
B
A
B
D
B
C
A
D
二、填空题：
13. 14. 15. 16. ①④
17.试题解析：
…………（3分）
（1）最小正周期：， ………………………………（4分）
由得：
所以的单调递增区间为：; …………………………（6分）
（2）由可得：所以, ……（8分）
又因为成等差数列，所以，
而 ……………………（10分）
， . ………………（12分）
18. 试题解析:
（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件，则………………（4分）
所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为
……………………（5分）
（2）的可能取值为0，10，20，30， ………………………………（6分）
则 ………………………………………（7分）
………………………………（8分）
…………………………（9分）
…………………………（10分）
所以的分布列为
0
10
20
30
所以，的数学期望 ……………………（12分）
19. 试题解析： （1）在图1中，取的中点，连接交于，则，
在图2中，取的中点，连接，，因为，
所以，且，…………………………………………………………（2分）
在中，由余弦定理有，………………（3分）
所以，所以．…………………………………………（4分）
又，所以平面，
又平面，所以平面平面 …………………………………………（6分）
（2）因为平面，且，故可如图建立空间直角坐标系，则
，
，………………………………………………（8分）
设平面的法向量为，则由得；……………………（10分）
同理可求得平面的法向量为，…………………………………………（11分）
故所求角的余弦值.……………………………………（12分）
20. 试题解析：
（1）设，，则 ，…………………………（1分）
，即，①…………………………（2分）
，，即，②…………………………（3分）
由①②得，
又，，…………………………（4分）
椭圆的方程为．…………………………（5分）
（2）设直线方程为：，
由得，
为重心，，…………………………（7分）
点在椭圆上，故有，
可得，………………………………………………………………………………（8分）
而，
点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），……………………（9分）
，…………………（10分）
当直线斜率不存在时，，，，
的面积为定值．…………………………………………………………………………（12分）
21. 试题解析：
（1）由，得，
由题意，，所以． ………………………………（1分）
（2），
因为对任意两个不等的正数，都有，
设，则，即恒成立，
问题等价于函数，即在为增函数．……（3分）
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即实数的取值范围是．……………………………（5分）
（3）不等式等价于，
整理得．
设，由题意知，在上存在一点，使得．………（6分）
由．
因为，所以，即令，得．………………………………（7分）
① 当，即时，在上单调递增，
只需，解得． ………………………………………………（8分）
② 当，即时，在处取最小值．
令，即，可得．
考查式子，
因为，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………（10分）
③ 当，即时，在上单调递减，
只需，解得．
综上所述，实数的取值范围是． …………………………（12分）
22. 试题解析：
（Ⅰ）曲线化为普通方程为：,………………………（2分）
由，得，……………………（4分）
所以直线的直角坐标方程为.……………………………………（5分）
（2）直线的参数方程为（为参数），……………………（8分）
代入化简得：，…………………………（9分）
设两点所对应的参数分别为，则，
∴. …………………………………………（10分）
（其它方法酌情给分）
23.(1) ……………………（2分）
∵原命题等价于, ……………………………………………………（3分）
所以,. ………………………………………………（5分）
（2）由于，所以
……………………………（8分）
当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为. …………………………………………（10分）