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- 2021-04-14 发布
[基础达标]
1．实数lg 4＋2lg 5的值为( )
A．2 B．5
C．10 D．20
解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－3，0) B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
解析：选A.因为f(x)＝，所以要使函数f(x)有意义，需使即－30，a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，
由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得11恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，
且8－2a<0，所以a>4，且a<1，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案：
10．已知函数f(x)＝若a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．
解析：由f(a)＝f(b)＝f(c)，可知－log3a＝log3b＝2－log3c，则ab＝1，bc＝9，故a＝，c＝，则a＋b＋c＝b＋，又b∈(1，3)，位于函数f(b)＝b＋的减区间上，所以＜a＋b＋c＜11.
答案：
11．函数f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围．
解：(1)令t＝ax－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t>22－3＝1，
由复合函数的单调性原则可知，f(x)＝log(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)0，a>0.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)由x＋－2>0，得>0.
因为x>0，所以x2－2x＋a>0.
当a>1时，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；
当00，
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，
即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，
记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，
则只需a>h(x)max.
而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，
所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.
[能力提升]
1．设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k>1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
所以2x>3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故选D.
2．(2019·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
解析：选A.f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.
3．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－mx为偶函数，其中e为自然对数的底数，则m＝________，若a2＋ab＋4b2≤m，则ab的取值范围是________．
解析：由题意，f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx＝ln(e2x＋1)－mx，所以2mx＝ln(e2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x，所以m＝1，因为a2＋ab＋4b2≤m，所以4|ab|＋ab≤1，所以－≤ab≤，故答案为1，[－，]．
答案：1 [－，]
4．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是________．
解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，
由实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，
则有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，
即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，
即有f(|log3a|)≥f(1)，
由于f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
则|log3a|≤1，即有－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
答案：
5．(2019·金华十校联考)设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且01.
解：(1)由f(x)＝1，得lg x＝±1，
所以x＝10或.
(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0，1)，b∈(1，＋∞)，
从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.
又＝，令φ(b)＝＋b(b∈(1，＋∞))，
任取1φ(1)＝2.所以>1.
6．已知函数f(x)＝log2(mx2－2mx＋1)，m∈R.
(1)若函数f(x)的定义域为R，求m的取值范围；
(2)设函数g(x)＝f(x)－2log4x，若对任意x∈[0，1]，总有g(2x)－x≤0，求m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为R，即mx2－2mx＋1>0在R上恒成立，
当m＝0时，1>0恒成立，符合题意；
当m≠0时，必有⇒⇒00，t2－2t<0，且h(1)＝0，所以≤0.故m≥0.综上，m的取值范围是[0，1)．
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