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- 2021-04-14 发布
2019-2020 学年四川省泸县第五中学高一下学期第二次月考
数学试题
一、单选题
1．sin34 sin 26 cos34 cos26 的值是（ ）
A． 1
2 B． 3
2
C． 1
2
D． 3
2
【答案】C
【解析】分析：先根据两角和余弦公式化简，再根据特殊角余弦值求结果.
详解：因为sin34 sin26 cos34 cos26 0 0 0 1cos(34 26 ) cos60 2
,
所以选 C.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，
从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通
分”等
2．如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A． AB DC B． AD AB AC C． AB AD BD D． 0AD CB
【答案】C
【解析】根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.
【详解】
在平行四边形 ABCD 中,显然有 AB DC , 0AD CB ,故 A,D 正确;
根据向量的平行四边形法则,可知 AD AB AC ,故 B 正确;
根据向量的三角形法, AB AD DB ,故 C 错误;
故选:C.
【点睛】
本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.
3．已知角 的终边经过点 ( 1,2)P ，则sin （ ）
A． 5
5
B． 2 5
5 C．-2 D． 1
2
【答案】B
【解析】按三角函数的定义，有 2 2 5sin 51 4
.
4． ,a b 为非零向量,且 a b a b ,则( )
A． / /a b ,且 a 与b 方向相同 B． ,a b 是共线向量
C． a b D． ,a b 无论什么关系均可
【答案】A
【解析】根据向量模长的三角不等式判断即可.
【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则有,
当 ,a b
不共线时,根据三角形两边之和大于第三边有| | | | | |a b a b .
当 ,a b
同向时有| | | | | |a b a b .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了对向量加法的模长理解,属于基础题型.
5．已知 tan 3 ，则 2 22sin 4sin cos 9cos 的值为（ ）
A． 1
30 B． 1
3 C． 21
10 D． 3
【答案】C
【解析】利用同角三角函数的基本关系把原式的分母“1”变为 sin2α+cos2α，然后给分子
分母求除以 cos2α，把原式化为关于 tanα的关系式，把 tanα的值代入即可求出值．
【详解】
因为 tanα＝3，
所以
2 2
2 2
2 2
2 4 92 4 9 sin sin cos cossin sin cos cos sin cos
2
2
2 4 9 21
1 10
tan tan
tan
．
故选 C．
【点睛】
本题是一道基础题，考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值的能力，做
题的突破点是“1”的灵活变形．
6．已知向量 (1, 3), ( 2,2 3)a b ，则 a 与b 的夹角是（ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D．
2
【答案】C
【解析】利用 cos
| || |
a b
a b
即可求出。
【详解】
设 a
与b
的夹角为 (0 ) ，则 (1, 3) ( 2,2 3) 1cos 2 4 2| || |
a b
a b
，得
3
.
【点睛】
本题考查向量夹角的求解，是基础题。
7．若 4cos 2 5
，且 ,2
，则 sin( 2 ) ( )
A． 24
25 B． 12
25 C． 12
25
D． 24
25
【答案】D
【解析】由诱导公式和同角三角函数关系即可求得sin ,cos ，再由诱导公式和二倍
角的正弦公式整理所求式子，代值计算即可.
【详解】
因为 4cos sin2 5
，所以 4sin 5
=
又 ,2
，即
2
2 4 3cos 1 sin 1 5 5
则 4 3 24sin( 2 ) sin 2 2sin cos 2 5 5 25
故选：D
【点睛】
本题考查由诱导公式、同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式化简求值，属于基础题.
8．已知 ,a b 是两个非零向量，且 a b a b ，则下列说法正确的是（ ）
A． 0a b B． a b C． a 与b 共线反向 D．存在正实数 ，
使 a b
【答案】D
【解析】由已知得，向量 a
与b
为同向向量，即存在正实数 ，使 λa b= ，故
选 D.
9．函数 sin 2y x x 在 ， 的图象大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性和三角函数的性质判断即可．
【详解】
函数 y=|x|sin2x 在[﹣π，π]是奇函数，故排除 B，
x＞0 时，y=xsin2x，
x∈（0，
2
）时，y＞0，x∈（
2
，π）时，y＜0，结合对称性，
故选 C．
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函
数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从
函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
10．在 ABC 中， 3AB ，
3C ，O 为 ABC 的外接圆的圆心，则CO （ ）
A． 3 B． 2 3
C． 3 D． 6
【答案】A
【解析】利用正弦定理可求出 ABC 的外接圆半径 CO .
【详解】
由正弦定理可得
32 2 3sin 3
2
ABCO C
，因此， 3CO ，故选 A.
【点睛】
本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考查计算能力，属于基础题.
11．设函数 2( ) 2 1f x x x ,若 1,m n 且 ( ) ( )f m f n ,则 mn 的取值范围为
A． 3,3 2 2 B．3,3 2 2 C． 1,3 D． 1,3
【答案】A
【解析】 设这个函数 f x 在 (1, )x 的图象与 x 轴的交点分别为 1 2 1 2, ( )x x x x ，
那么 1 2 ,x x x f x 有最大值在 1x 时取得 1 2f ，
解方程 2 2 1 2x x ，解得 3x 或 1x （舍去），
因为 1m n ，且 f a f b ，此时 2 22 1 0, 2 1 0n n m m ，
那么有 2 22 1 ( 2 1)n n m m ，即 2 2 2 2 2 0m n m n ，
即 2 2( 1) ( 1) 4m n ，设 1 2cos , 1 2sin , (0, )4m n ，
所以 (1 2cos )(1 2sin ) 1 2(cos sin ) 4sin cosmn ，
设 sin cost ，则 22sin cos 1t ，
且 sin cos 2 sin( ) (1, 2)4t ，
所以 22 2 1mn t t ，当 1t 时， mn 有最小值，此时最小值为3 ，
当 2t 时， mn 有最大值，此时最大值为3 2 2 ，
所以 mn 的取值范围是 (3,3 2 2) ，故选 A.
12．已知函数 2( ) logf x x ， ( ) 2g x x a ，若存在 1 2
1, ,22x x
，使得
1 2f x g x ，则 a 的取值范围是（ ）
A．[ 5,0] B． ( , 5] [0, ) C． ( 5,0)
D． ( , 5) (0, )
【答案】A
【解析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在 1 2
1 22x x， ，
，使得 f（x1）＝g
（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．
【详解】
当 1
2
x≤2 时，log2
1
2
f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则 f（x）的值域为[﹣1，1]，
当 1
2
x≤2 时，2 1
2
a≤g（x）≤4+a，即 1+a≤g（x）≤4+a，则 g（x）的值域为[1+a，
4+a]，
若存在 1 2
1 22x x， ，
，使得 f（x1）＝g（x2），
则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅ ，
若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅ ，
则 1+a＞1 或 4+a＜﹣1，
得 a＞0 或 a＜﹣5，
则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅ 时，﹣5≤a≤0，
即实数 a 的取值范围是[﹣5，0]，
故选 A．
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进
行求解是解决本题的关键．
二、填空题
13．已知向量 AB
与 AC
的夹角为120 ，且 3 2AB AC ， ，若 AP AB AC ，
且 AP BC 则实数 的值为__________．
【答案】 7
12
【解析】∵ ⊥ ，∴ · ＝(λ ＋ )·( － )＝－λ 2＋ 2＋(λ－1) · ＝0，即
－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2× ＝0，解得λ＝ .
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式 a·b＝x1x2
＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式
进行化简.
14．不等式 3sin 2x 的解集为 ____________________．
【答案】 22 2 ,3 3x k x k k Z
【解析】 2 3
3 3 2sin sin ，∴结合正弦函数的图象及正弦函数的性质可得
不等式 3
2sinx 的解集为 2{ | 2 2 }3 3x k x k k Z ，
15．在 中，内角 所对的边分别为 ．若 ，
，且 的面积等于 ，则 ________．
【答案】
【解析】由 ， ，且 的面积等于 3，分别利用正弦定
理、余弦定理、三角形面积公式列方程，解方程即可得出结果.
【详解】
因为 ， 的面积等于 ，
由 ，根据正弦定理可得， ①
由余弦定理可得， ②
由三角形面积公式得 ③
由①②③得， ， ， .
故答案为
【点睛】
本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式，即可求
解，属于常考题型.
16．设函数
2 2
2 , 2( )
3 2 , 2,
x a xf x
x ax a x
若函数 ( )f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值
范围是__________．
【答案】[1,2) [4, )
【解析】 2 , 2,0 2 4x xy x ,
0 4a 时， 2 0x a 有一个解， 0a 或 4a 时， 2 0x a 无解；
2 23 2 ( )( 2x ax a x a x a ）
当 (0,1)a 时，方程 2 23 2 0x ax a 在[1, ) 上无解；
[1,2)a 时，方程 2 23 2 0x ax a 在[1, ) 上有且仅有一解；
[2, )a 时，方程 2 23 2 0x ax a 在[1, ) 上有且仅有两解；
综上所述，函数 f x 恰有 2 个零点则1 2a 或 4a . 故填1 2a 或 4a .
三、解答题
17．已知向量 ，向量 分别为与向量 同向的单位向量.
（Ⅰ）求向量 与 的夹角 ；
（Ⅱ）求向量 的坐标.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：
（Ⅰ）运用向量的数量积求解即可．（Ⅱ）先根据单位向量的概念求得 ，再求
的坐标．
试题解析：
（Ⅰ）因为向量 ，
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
即向量 与 的夹角为 ．
（Ⅱ）由题意得
，
，
所以 ．
即向量 的坐标为 ．
18．已知 5cos 5
， 10sin( ) 10
，且 , 0, 2
，求 的值.
【答案】
4
【解析】先由题意，得到 0 2
，计算出sin ，cos( ) ，再由
cos cos[ ( )] ，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.
【详解】
∵ , 0, 2
，∴ ,2 2
，
∵ 10sin( ) 010
，∴ 0 2
，
又∵ 5cos 5
，
∴ 2 2 5sin 1 cos 5
， 2 3 10cos( ) 1 sin ( ) 10
，
∴ cos cos[ ( )]
cos cos( ) sin sin( )
5 3 10 2 5 10 2
5 10 5 10 2
，
∵ 0, 2
，∴
4
.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换给值求角的问题，熟记两角差的余弦公式，以及同角三角函
数基本关系即可，属于常考题型.
19．已知函数 sin 2 cos 2 2sin cos3 6f x x x x x .
（Ⅰ）求函数 f x 图象的对称轴方程；
（Ⅱ）将函数 y f x 的图象向右平移
12
个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸
长为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y g x 的图象，求 y g x 在 ,23
上
的值域．
【答案】（Ⅰ）函数 f x 图象的对称轴方程：
2 12
kx ， k Z （Ⅱ） 1,2
【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 sin 2 3f x x
，
令 2 3 2x k ， k Z ，解得函数 f x 图象的对称轴方程；（Ⅱ）利用函数
siny A ωx φ 的图象变换规律可求得 2sin 2 6
xg x
，由 ,23x
，得
到
2 6
x 的范围，结合正弦函数的图象可求得值域．
【详解】
（Ⅰ） sin 2 cos 2 2sin cos3 6f x x x x x
sin 2 cos cos2 sin cos2 cos sin 2 sin 2sin cos3 3 6 6x x x x x x
1 3 3 1sin 2 cos2 cos2 sin 2 sin 2 3 cos2 sin 22 2 2 2x x x x x x x
2sin 2 3x
令 2 3 2x k ，k Z ，解得函数 f x 图象的对称轴方程：
2 12
kx ，k Z
（Ⅱ）向右平移
12
个单位得： 2sin 2 2sin 212 3 6y x x
横坐标伸长为原来的 4 倍，纵坐标不变得： 2sin 2 6
xy g x
,23x 7,2 6 3 6
x
1sin ,12 6 2
x
2sin 1,22 6
x
g x 的值域为： 1,2
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象平移变换和伸缩变换，正弦型
函数值域的求解，考查了转化思想，关键是能够熟练掌握函数 siny A ωx φ 的图
象变换规律，利用整体对应的方式，结合正弦函数图象求得结果．
20．已知函数 22( ) cos(2 ) 2cos3f x x x k 的最小值为 3
（1）求常数 k 的值;
（2）若 0
7( ) 5f x ， 0 0, 4x
，求 0cos2x 的值.
【答案】（1） 3k （2） 4 3 3
10
【解析】试题分析： (1)由余弦的差角公式角及降幂公式原函数可化为
3 1 1 cos2xf x sin2x cos2x 2 k2 2 2
=
3 1 πsin2x cos2x 1 k sin 2x 1 k2 2 6
,所以 f(x)min=-1+1+k=-3,可
解.(2) 0 0
π 7 f x sin 2x 26 5
，即 0
π 3sin 2x 6 5
.由 0
π x 0 4
，
，
∴ 0
π π 2π2x 6 6 3
， 又 3 1 ,15 2
,所以 2
0 0
π πcos 2x 1 sin 2x6 6
= 4
5
，
0 0
π πcos2x cos 2x 6 6
展开即得.
试题解析：（1） 3 1 1 cos2xf x sin2x cos2x 2 k2 2 2
= 3 1 πsin2x cos2x 1 k sin 2x 1 k2 2 6
，
∴f(x)min=-1+1+k=-3，解得 k = -3．
（2）∵ πf x sin 2x 26
．
∴ 0 0
π 7f x sin 2x 26 5
，即 0
π 3sin 2x 6 5
.
∵ 0
πx 0 4
， ，∴ 0
π π 2π2x 6 6 3
， ．
∵ 若 0
π π π2x 6 6 2
， ，则 0
π 1sin 2x ,16 2
，
若 0
π π 2π2x 6 2 3
， ，则 0
π 3sin 2x ,16 2
，
显然 3 1 ,15 2
，且 3 3 ,15 2
，∴ 0
π π π2x 6 6 2
， ．
∴ 2
0 0
π πcos 2x 1 sin 2x6 6
= 4
5
，
∴ 0 0
π πcos2x cos 2x 6 6
0 0
π π π πcos 2x cos sin 2x sin6 6 6 6
= 4
5 × 3
2
+ 3
5 × 1
2 = 4 3 3
10
．
21．在 ABC 中， D 是 BC 边上的点， 3cos 5BAD ， 5cos 5ADC .
（1）求sin B 的值；
（2）若 2 2BD DC ，求 AC 的长.
【答案】（1） 2 5sin = 5B （2） 2 2AC
【解析】（1）已知 ADC 就量已知 ADB ， ABD 中已知两内角的余弦，再求出正
弦后由两角和的正弦公式及诱导公式可得sin B ；
（2）在 ADB 中先求出 AD ，然后在 ADC 中由余弦定理可得 AC ．
【详解】
解：（1） 5cos cos( ) cos 5ADB ADC ADC ， 0,ADB ，
2 5sin 5ADB
3cos 5BAD ， (0, )BAD ， 4sin 5BAD .
sin sin[ ( )] sin( )B BAD ADB BAD ADB ，
4 5 3 2 5 2 5sin cos cos sin 5 5 5 5 5BAD ADB BAD ADB
（2）在 ABD△ 中，由正弦定理得：
sin sin
AD BD
B BAD
，即
2
42 5
55
AD ， 5AD .
在 ADC 中，由余弦定理得
2 2 2 52 cos 5 1 2 5 1 85AC AD DC AD DC ADC ，
2 2AC
【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，考查正弦定理和余弦定理．在
三角恒等变形时，研究未知角和已知角的关系很重要，本题第一小题如果用外角和定理，
只要用两角差的正弦公式即可求解，可避免用诱导公式．
22．如图，已知 OPQ 是半径为 5 ，圆心角为
3
的扇形，C 是该扇形弧上的动点，ABCD
是形的内接矩形，其中 D 在线段 OQ 上，A、B 在线段 OP 上，记∠BOC 为θ．
（1）若 Rt△CBO 的周长为 5 30 5
5
，求 cos2θ的值；
（2）求 OA•AB 的最大值，并求此时θ的值．
【答案】（1）± 2 6
5
（2）θ= 6
时，OA•AB 取得最大值 5
6
【解析】（1）由题意可得 BC= sinθ，OB= cosθ，由条件可得 sinθ+cosθ= 30
5
，0
＜θ＜
3
，两边平方，结合二倍角的正弦公式和两角平方关系可得所求值；
（2）分别求得 OA，AB，结合二倍角的正弦公式和余弦公式，以及辅助角公式和正弦
函数的值域，可得最大值以及相应的角．
【详解】
（1）∠BOC 为θ，可得 BC=OCsinθ= 5 sinθ，
OB=OCcosθ= 5 cosθ，
由题意可得 5 + 5 sinθ+ 5 sinθ= 5 30 5
5
，
化为 sinθ+cosθ= 30
5
，0＜θ＜
3
，
两边平方可得 2sinθcosθ= 1
5
＞0，
即 sin2θ= 1
5
，cos2θ=± 11 25
=± 2 6
5
；
（2）在直角三角形 OBC 中，BC= 5 sinθ，
即有 AD= 5 sinθ，
OA=ADtan 6
= 15
3
sinθ，
由 AB=OB-OA= 5 cosθ- 15
3
sinθ，
则 OA•AB= 5 3
3
sinθcosθ- 5
3 sin2θ
= 5 3
6
sin2θ- 5
6
（1-cos2θ）
= 5
3
（ 3
2
sin2θ+ 1
2 cos2θ）- 5
6
，
= 5
3 sin（2θ+ 6
）- 5
6
，
当 2θ+ 6
= 2
，即θ= 6
时，OA•AB 取得最大值 5
6
．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查正弦函数的值域的运用，解答中熟练应用
三角恒等变换的公式化简，及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于中档试题。