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- 2021-04-14 发布
2018-2019 学年四川省遂宁二中高二下学期期中考试数学（理）试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分 150
分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求.
1．已知命题 p： ， .则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B 【解析】p： ， .则 : .
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，线段 AB 的中点 C 的横坐标
为 ，则|AB|＝( )
A． B． C． 5 D．
【答案】D【解析】由题意得 p＝2，∴ ．选 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A. 命题“若 ，则 ”是真命题
B. 命题“若 ，则 ”的逆命题是“若 ，则 ”
C. 命题“已知 ，若 ，则 或 ”是真命题
D. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”
【答案】C【解析】对于 A，若 ，则 ，所以 A 不正确．
0 0x∃ > 0ln 0x < p¬
2 1x = 1x = ±
0 0x∃ > 0ln 0x < p¬
0x∀ ≤ ln 0x ≥ 0x∀ > ln 0x ≥
0 0x∃ > 0ln 0x ≥ 0 0x∃ ≤ 0ln 0x <
5
3
13
3
14
3
16
3
10 1623 3A BAB x x p= + + = + =
2 1x = 1x =
2 5 6 0x x− + = 2x = 2x ≠ 2 5 6 0x x− + ≠
,x y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠
2x = 2 5 6 0x x− + = 2x = 2 5 6 0x x− + ≠
对于 B，命题“若 x2-5x+6=0，则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2-5x+6≠0”，所以B
不正确．
对于 C，命题“已知 ，若 ，则 或 ”的逆否命题是“已知
，若
，则 ”为真命题，所以 C 正确．
对于 D，命题“若 x=2，则 x2-5x+6=0”的否命题是“若 x≠2，则 x2-5x+6≠0”，所以D 不
正确．
本题选择 C 选项.
4．执行如图的程序框图，若输出的 ，则输出 的值可以为( )
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】试题分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n，S
的值，当 S=48 时，由题意，此时应该满足条件 n=10＞k，退出循环，输出
S 的值为 48，故应有：7＜k＜10．
解：模拟执行程序框图，可得 n=1，S=1，不满足条件 n＞k；n=4，S=6，
不满足条件 n＞k；n=7，S=19，不满足条件 n＞k；n=10，S=48，由题意，
此时应该满足条件 n=10＞k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应有：7＜
k＜10。故选：C．
考点：程序框图．
5.若在 所围区域内随机取一点，则该点落在 所围区域内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 表示的区域是单位圆及其内部（即圆面）， 表示的区
域是边长为 的正方形，故所求概率为： 。故选 B。
考点：几何概型．
,x y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠
,x y R∈
2 1x y= =且 3x y+ =
48=S k
4 6 8 10
2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤
1
π
2
π
1
2π
11 π−
2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤
2
2
2
2 2=1π π×
（ ）
6.设不重合的两条直线 、 和三个平面 、 、 给出下面四个命题：
（1） （2）
（3） （4）
其中正确的命题个数是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】 时，有可能 ，A 错； ，而 所以 ，
又 ，所以 ，B 对；由两平面平行定义知，C 对; 时， 、 有可能相交，D
错；因此选 B.
7．如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】设 ，则 ，两式相减，化简
得：
，即直线 的斜率为 ，所以，这条弦所在的
直线方程是： ，即 ，故选 D。
8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两
个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
[答案] C
[解析]该几何体是由半径为 3，高为 3 的半个圆柱去掉半径为 1，高为 3 的半个圆柱后
剩下的几何体。其表面积为：
S=
m n α β γ
βαβα ∥∥∥ nnmnm ,, ⇒= ααββα ∥mmm ⇒⊄⊥⊥ ,,
,m mα β α β⊂ ⇒∥ ∥ γβγαβα ∥⇒⊥⊥ ,
1 2 3 4
2 2
136 9
x y+ =
2 0x y− = 2 4 0x y+ − =
2 3 12 0x y+ − = 2 8 0x y+ − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2 2 2
1 1 2 21 136 9 36 9
x y x y+ = + =，
1 2 1 2
1 2 1 2
9( ) 9 8 1
36( ) 36 4 2
y y x x
x x y y
− + ×= − = − = −− + × AB 1
2-
12 ( 4)2y x− = − − 2 8 0x y+ − =
17 12π + 12 12π + 20 12π + 16 12π +
2 21 12 3 3 2 1 3 2 3 2 (3 1 ) 20 122 2
π π π π× × × + × × × + × × + − = +
故选 C。
9、(2009·陕西·理 9)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有
重复数字的四位数的个数为( )
A．300 B．216 C．180 D．162
[答案] C
[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识．
由题意知可分为两类，
(1)选“0”，共有 C23C12C13A33＝108，
(2)不选“0”，共有 C23A44＝72，
∴由分类加法计数原理得 72＋108＝180，故选 C.
10. 已知函数 ，点 是函数 图象上的任意一点，其中
，记 的面积为 ，则 的图象可能是( )
【答案】A
【解析】 ，所以
，所以选 A.
11．已知函数 ，若过点 可作曲线 的三条切线，则实数 的
取值范围是( )
A． B． C. D．
【答案】C
( ) sin , (0,2 )f x x x π= Î ( , )P x y ( )f x
(0 0), (2 ,0),O A π ΔOAP ( )g x / ( )g x
xxxf 3)( 3 −= ),2( tM )(xfy = t
)2,6( −− )2,4( −− )2,6(− )2,0(
【解析】设切点为 ,则方程 ,
有三解, 令 ,则 ,因此
,选 C.
12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【名师点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点出的切线
的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．要求曲线上某点的切线方程，需要到两个
量，一个是切点，一个是切线的斜率，分别求得切点和斜率，然后根据点斜式可写出切线方
程．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在题后横线上.
13．(21010·四川理，13) 的展开式中的第四项是________．
[答案] －
160
x
[解析] (2－
1
3 x)6 的展开式中第 4 项为 T4＝C3623·(－
1
3 x)3＝－
160
x .
14．已知双曲线 的一条渐近线被圆 C: 截得的线段长为
，则 __________．
【答案】2
2
1:C y x= ( )2 : 0
xeC y aa
= > a
( )01， 2
1 4
e
，
2
,24
e
2
,4
e +∞
6
3
12 )-
x
（
2 2 1x y− = 2 2 2( 2) ( 0)x y r r− + = >
2 2 r =
【解析】不妨设双曲线 的一条渐近线为 ，圆心 C 到直线 的距离
为 ，故 ；故答案为 2.
15．函数 ，若 ，则实数 的取值范围是：
（﹣1，0） ．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据题意，分析可得函数 f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上增函数，由此可
以将 f（x2）+f（﹣x）＞0 转化为 ，解可得 x 的取值范围，即可得答
案．
【解答】解：根据题意，
函数 f（x）=x3+sinx，f（﹣x）=（﹣x）3+sin（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函
数 f（x）为奇函数，
其导数 f′（x）=3x2+cosx，又由﹣1＜x＜1，则有 f′（x）=3x 2+cosx≥0，故函数 f
（x）为增函数，
f（x2）+f（﹣x）＞0⇒f（x2）＞﹣f（﹣x）⇒f（x2）＞f（x）⇒ ，
解可得：﹣1＜x＜0，即 x 的取值范围是（﹣1，0）；
故答案为：（﹣1，0）
16.已知 是双曲线 的右焦点， 是 轴正半轴上一点，以
为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点 .若点 三点共线，且
的面积是 面积的 7 倍，则双曲线 的离心率为__________.
16． 【解析】由题意结合面积的比值可得： ，且： ，据此可得：
，
将其代入双曲线渐近线方程 可得： ， 设 ，则由 可得：
，
2 2 1
7
PM
MF
= ( ),0F c
1 1
8 8M Fx x c= =
2 2 1x y− = 0x y− = (2,0) 0x y− =
| 2 0 | 2
2
d
−= = 2 2( 2) ( 2) 2r = + =
3( ) sin 1 1)-f x x x x= + < <（ 2( ) ( ) 0f x f x+ − > x
F
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > P y
OP M , ,P M F
MFO∆ PMO∆ C
by xa= 8M
bcy a= 0, )P n（ / /PM PF
7
bcn a=
又 ， ，所以 ，结合
可得： .
三、解答题：
17. （本题满分 10 分）
正项等比数列 中， ， 。
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和。若 ，求 。
解：(1)设数列 的公比为 ，∴ ，∴ 。由于 则 ，故
，
∴数列 的通项公式为： 。（5 分）
(2)由(1)知， ， ∴ ∴ 。（10 分）
18．（本题满分 12 分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生
产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程；
(2)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归
方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
附：线性回归方程 y＝bx＋a 中，b＝ ， ，
其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 y^
＝ b^
x＋ a^
.
18．解： (1)由系数公式可知， ＝4.5， ＝3.5， 3×2.5＋4×3＋5×4＋
6×4.5＝66.5
2 2 2c a b= +
2 2e =
0OM MP× = 1 1= , ), ( , )8 8 8 56
bc bcOM c MP ca a= - （
2 2
2
2
1 064 448
b cc a- + =
{ }na 1 1a = 5 34a a=
{ }na
nS { }na n 63mS = m
{ }na q 2 5
3
4aq a
= = 2q = ± 0,na > 0q >
2q =
{ }na 12n
na −=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −− 2 1 63m
mS = − = 6m =
∑
∑
=
=
−
−
n
i
i
n
i
ii
xnx
yxnyx
1
22
1 xbya −=
x y
x y
4
1
i i
i
x y
=
=å
， ＝66.5－4 × 4.5 × 3.5
86－4 × 4.52 ＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝
0.35，所以线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35.(8 分)
(2)x＝100 时， ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技
术改造前降低 19.65 吨标准煤．.(12 分)
19、（本题满分 12 分）
已知函数 .
(1)若 在 有极小值 ，求实数 的值；
(2)若 在定义域 R 内单调递增，求实数 的取值范围.
【解析】(1) ，依题意得 ，解得 ，故所
求的实数 .（6 分）
(2)由(1)得 .因为 在定义域 R 内单调递增，所以 在 R
上恒成立，
即 恒成立，因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为
.（12 分）
20. 如 图 ， 是 的 中 点 ， 四 边 形 是 菱 形 ， 平 面 平 面 ，
， ， .
（I）若点 是线段 的中点，证明： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（I）详见解析；（Ⅱ）
【解析】
4 2 2 2 2 2
1
3 4 5 6 86i
i
x
=
= + + + =å bˆ aˆ
yˆ
yˆ
( ) xf x e ax b= - +
( )f x 2x = 21 e- ,a b
( )f x a
/ ( ) xf x e a= -
/ 2
2 2
(2) 0
(2) 2 1
f e a
f e a b e
ì = - =ïí = - + = -ïî
2
1
a e
b
ìï =í =ïî
2 , 1a e b= =
/ ( ) xf x e a= - ( )f x / ( ) 0xf x e a= - ³
,xa e x R£ Î , (0, )xx R eÎ Î +¥ 0a £ a
( ,0]- ¥
D AC BDEF BDEF ⊥ ABC
60FBD∠ = AB BC⊥ 2AB BC= =
M BF BF ⊥ AMC
AEF BCF
1
7
21. （本题满分 12 分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 于 、 两点，线段 的垂直平分线与轴交
于点 ，求点 的横坐标的取值范围；
（3）在第（2）问的条件下，求 面积的最大值.
解析：（1）因为点 在椭圆 E 上，所以 。 ，解
得
椭圆 E 的方程为 。
（2）设直线 的方程为 ，
代入 ，整理得 .
直线 过椭圆的右焦点 ， 方程有两个不等实根.
记 ， 中点 ，
则 ， ， ，
垂直平分线 的方程为 .
令 ，得 .
， . 的取值范围为 .
(0,1)D 1b =
2 2 2 2
2
2 2 2
1 1
2
c a b ae a a a
- -= = = =
2a =
2
2 12
x y+ =
22．已知函数 f（x）=px﹣ ﹣2lnx．
（Ⅰ）若 p=2，求曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 f（x）在其定义域内为增函数，求正实数 p 的取值范围；
（Ⅲ）设函数 g（x）= （e 为自然对数底数），若在[1，e]上至少存在一点 x 0，使得 f
（x0）＞g（x0）成立，求实数 p 的取值范围．
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）求出函数在 x=1 处的值，求出导函数，求出导函数在 x=1 处的值即切线的斜率，
利用点斜式求出切线的方程．
（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于 0 恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，
求出二次函数的最小值，令最小值大于等于 0，求出 p 的范围．
（III）通过 g（x）的单调性，求出 g（x）的最小值，通过对 p 的讨论，求出 f（x）的最
大值，令最大值大于等于 g（x）的最小值求出 p 的范围．
【解答】解：（I）当 p=2 时，函数 f（x）=2x﹣ ﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0，
f′ （x ）=2+ ﹣ ，曲线 f （x ）在点（1 ，f （1 ））处的切线的斜率为 f' （1 ）
=2+2﹣2=2．
从而曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）
即 y=2x﹣2．
（II）f′（x）=p+ ﹣ = ，
令 h（x）=px2﹣2x+p，
要使 f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需 h（x）≥0 在（0，+∞）内恒成立，
由题意 p＞0，h（x）=px2﹣2x+p 的图象为开口向上的抛物线，
对称轴方程为 x= ∈（0，+∞），
∴h（x）min=p﹣ ，只需 p﹣ ≥0，
即 p≥1 时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数 p 的取值范围是[1，+∞）．
（III）∵g（x）= 在[1，e]上是减函数，
∴x=e 时，g（x）min=2；x=1 时，g（x）max=2e，
即 g（x）∈[2，2e]，
当 p＜0 时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，
对称轴 x= 在 y 轴的左侧，且 h（0）＜0，
所以 f（x）在 x∈[1，e]内是减函数．
当 p=0 时，h（x）=﹣2x，因为 x∈[1，e]，所以 h（x）＜0，
f′（x）=﹣ ＜0，此时，f（x）在 x∈[1，e]内是减函数．
∴当 p≤0 时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；
当 0 ＜ p ＜ 1 时 ， 由 x ∈ [1 ， e]⇒x﹣ ≥ 0 ， 所 以 f （ x ） =p （ x﹣ ） ﹣2lnx ≤ x﹣
﹣2lnx．
又由（2）知当 p=1 时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2＜2，不合题意；
当 p≥1 时，由（2）知 f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又 g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需 f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
而 f（x）max=f（e）=p（e﹣ ）﹣2lne，g（x）min=2，
即 p（e﹣ ）﹣2lne＞2，解得 p＞ ，
综上所述，实数 p 的取值范围是（ ，+∞）．
遂宁二中高 2020 届 2018—2019 学年度第二期半期考试
数学试题（理科）参考解答
1．【答案】B 【解析】p： ， .则 : .
2．【答案】D【解析】由题意得 p＝2，∴ ．选 D．
3．【答案】C【解析】对于 A，若 ，则 ，所以 A 不正确．
对于 B，命题“若 x2-5x+6=0，则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2-5x+6≠0”，所以B
不正确．
对于 C，命题“已知 ，若 ，则 或 ”的逆否命题是“已知
，若
，则 ”为真命题，所以 C 正确．
对于 D，命题“若 x=2，则 x2-5x+6=0”的否命题是“若 x≠2，则 x2-5x+6≠0”，所以D 不
正确．选 C
4．【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得 n=1，S=1，不满足条件 n＞k；n=4，S=6，
不满足条件 n＞k；n=7，S=19，不满足条件 n＞k；n=10，S=48，由题意，此时应该满足条件
n=10＞k，退出循环，输出 S 的值为 48，故应有：7＜k＜10。故选：C．
5.【答案】B【解析】 表示的区域是单位圆及其内部（即圆面）， 表示
的区域是边长为 的正方形，故所求概率为： 。故选 B。
6.【答案】B【解析】 时，有可能 ，A 错； ，而
所以 ，又 ，所以 ，B 对；由两平面平行定义知，C 对; 时， 、 有
0 0x∃ > 0ln 0x < p¬
2 1x = 1x = ±
,x y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠
,x y R∈
2 1x y= =且 3x y+ =
10 1623 3A BAB x x p= + + = + =
2 2 1x y+ ≤ 1x y+ ≤
2
2
2
2 2=1π π×
（ ）
可能相交，D 错；因此选 B.
7．【答案】D【解析】设 ，则 ，两式相减，化
简得：
，即直线 的斜率为 ，所以，这条弦所在的
直线方程是： ，即 ，故选 D。
8.[答案] C[解析]该几何体是由半径为 3，高为 3 的半个圆柱去掉半径为 1，高为 3 的半个
圆 柱 后 剩 下 的 几 何 体 。 其 表 面 积 为 ： S=
。故选 C。
9、[答案] C[解析] 由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有 C23C12C13A33＝108，(2)不选
“0”，共有 C23A44＝72，
∴由分类加法计数原理得 72＋108＝180，故选 C.
10. 【答案】A【解析】 ，所以
，所以选 A.
11 ． 【 答 案 】 C 【 解 析 】 设 切 点 为 , 则 方 程
, 有 三 解 , 令
, 则 , 因 此
,选 C.
13．[答案] －
160
x [解析] (2－
1
3 x)6 的展开式中第 4 项为 T4＝C3623·(－
1
3 x)3＝－
160
x .
14．【答案】2【解析】不妨设双曲线 的一条渐近线为 ，圆心 C 到直线
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2 2 2
1 1 2 21 136 9 36 9
x y x y+ = + =，
1 2 1 2
1 2 1 2
9( ) 9 8 1
36( ) 36 4 2
y y x x
x x y y
− + ×= − = − = −− + × AB 1
2-
12 ( 4)2y x− = − − 2 8 0x y+ − =
2 21 12 3 3 2 1 3 2 3 2 (3 1 ) 20 122 2
π π π π× × × + × × × + × × + − = +
2 2 1x y− = 0x y− = (2,0)
的距离为 ，故 ；故答案为 2.
15．【答案】（﹣1，0）【解析】根据题意，函数 f（x）=x 3+sinx，f（﹣x）=（﹣x） 3+sin
（﹣x）=﹣（x3+sinx）=﹣f（x），故函数 f（x）为奇函数，其导数 f′（x）=3x 2+cosx，
又由﹣1＜x＜1，则有 f′（x）=3x2+cosx≥0，故函数 f（x）为增函数，f（x2）+f（﹣x）＞
0⇒f（x2）＞﹣f（﹣x）⇒f（x2）＞f（x）⇒ ，
解可得：﹣1＜x＜0，即 x 的取值范围是（﹣1，0）；故答案为：（﹣1，0）
16. 【答案】 【解析】由题意结合面积的比值可得： ，且： ，据此
可得： ， 将其代入双曲线渐近线方程 可得： ， 设
，则由 可得： ，又 ， ，所
以 ，结合 可得： .
17. 解：(1)设数列 的公比为 ，∴ ，∴ 。由于 则 ，
故 ，
∴数列 的通项公式为： 。（5 分）
(2)由(1)知， ， ∴ ∴ 。（10 分）
18．解： (1)由系数公式可知， ＝4.5， ＝3.5， 3×2.5＋4×3＋5×4＋
6×4.5＝66.5
， ＝66.5－4 × 4.5 × 3.5
86－4 × 4.52 ＝0.7， ＝3.5－0.7×4.5＝
0.35，所以线性回归方程为 ＝0.7x＋0.35.(8 分)
(2)x＝100 时， ＝0.7x＋0.35＝70.35，所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技
术改造前降低 19.65 吨标准煤．.(12 分)
19、【解析】(1) ，依题意得 ，解得 ，故所
2 2 1
7
PM
MF
= ( ),0F c
1 1
8 8M Fx x c= =
2 2 2c a b= + 2 2e =
0x y− = | 2 0| 2
2
d
−= = 2 2( 2) ( 2) 2r = + =
by xa= 8M
bcy a=
0, )P n（ / /PM PF
7
bcn a= 0OM MP× = 1 1= , ), ( , )8 8 8 56
bc bcOM c MP ca a= - （
2 2
2
2
1 064 448
b cc a- + =
{ }na q 2 5
3
4aq a
= = 2q = ± 0,na > 0q >
2q =
{ }na 12n
na −=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −− 2 1 63m
mS = − = 6m =
x y
4
1
i i
i
x y
=
=å
4 2 2 2 2 2
1
3 4 5 6 86i
i
x
=
= + + + =å bˆ aˆ
yˆ
yˆ
/ ( ) xf x e a= -
/ 2
2 2
(2) 0
(2) 2 1
f e a
f e a b e
ì = - =ïí = - + = -ïî
2
1
a e
b
ìï =í =ïî
求的实数 .（6 分）
(2)由(1)得 .因为 在定义域 R 内单调递增，所以 在
R 上恒成立，
即 恒成立，因为 ，所以 ，所以实数的取值范围为
.（12 分）
20.
21. 解析：（1）因为点 在椭圆 E 上，所以 。 ，
解得 椭圆 E 的方程为 。…………………4 分
2, 1a e b= =
/ ( ) xf x e a= - ( )f x / ( ) 0xf x e a= - ³
,xa e x R£ Î , (0, )xx R eÎ Î +¥ 0a £
( , 0]- ¥
(0,1)D 1b=
2 2 2 2
2
2 2 2
1 1
2
c a b ae a a a
- -= = = =
2a =
2
2 12
x y+ =
（2）设直线 的方程为 ，
代入 ，整理得 .
直线 过椭圆的右焦点 ， 方程有两个不等实根.
记 ， 中点 ，
则 ， ， ，
垂直平分线 的方程为 .
令 ，得 .
， . 的取值范围为 . …………………8 分
…………………12 分
22．【解答】（I）当 p=2 时，函数 f（x）=2x﹣ ﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0，
f′ （ x ） =2+ ﹣ ， 曲 线 f （ x ） 在 点 （ 1 ， f （ 1 ））处 的 切 线 的 斜 率 为 f' （ 1 ）
=2+2﹣2=2．
从而曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）
即 y=2x﹣2． …………………4 分
（II）f′（x）=p+ ﹣ = ，
令 h（x）=px2﹣2x+p，要使 f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需 h（x）≥0 在（0，+∞）内恒成立，
由题意 p＞0，h（x）=px2﹣2x+p 的图象为开口向上的抛物线，
对称轴方程为 x= ∈（0，+∞），
∴h（x）min=p﹣ ，只需 p﹣ ≥0，
即 p≥1 时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数 p 的取值范围是[1，+∞）．…………………8 分
（III）∵g（x）= 在[1，e]上是减函数，
∴x=e 时，g（x）min=2；x=1 时，g（x）max=2e，
即 g（x）∈[2，2e]，
当 p＜0 时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，
对称轴 x= 在 y 轴的左侧，且 h（0）＜0，
所以 f（x）在 x∈[1，e]内是减函数．
当 p=0 时，h（x）=﹣2x，因为 x∈[1，e]，所以 h（x）＜0，
f′（x）=﹣ ＜0，此时，f（x）在 x∈[1，e]内是减函数．
∴当 p≤0 时，f（x）在[1，e]上单调递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；
当 0 ＜ p ＜ 1 时 ， 由 x ∈ [1 ， e]⇒x﹣ ≥ 0 ， 所 以 f （ x ） =p （ x﹣ ） ﹣2lnx ≤ x﹣
﹣2lnx．
又由（2）知当 p=1 时，f（x）在[1，e]上是增函数，
∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2＜2，不合题意；
当 p≥1 时，由（2）知 f（x）在[1，e]上是增函数，
f（1）=0＜2，又 g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需 f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
而 f（x）max=f（e）=p（e﹣ ）﹣2lne，g（x）min=2，
即 p（e﹣ ）﹣2lne＞2，解得 p＞ ，
综上所述，实数 p 的取值范围是（ ，+∞）．…………………12 分