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- 2021-04-14 发布
第2题 命题真假的判断
I．题源探究·黄金母题
【例1】将下列命题改成“若，则”的形式，并判断真假
（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；]
（2）负数的立方是负数；
（3）对顶角相等．
【解析】（1）若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行．它是假命题．
（2）若一个数是负数，则这个数的立方是负数．它是真命题．
（3）若两个角是对顶角，则这两个角相等．它是真命题．
精彩解读
【试题 】人教版A版选修1-1，2-1第4页例3．
【母题评析】本题考查了假言命题的形式及其真假的判定．作为基础题，命题的四种形式及其真假的判定，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】可以借助相关的基础知识判定一个命题是真命题，而判断假命题只要举一个反例即可！
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2018高考北京理13】能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】试题分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得且上是减函数．
试题解析：令，则对任意的都成立，但在上不是增函数．
又如，令，则对任意的都成立，但在上不是增函数．
【命题意图】本题考查全称命题真假的判断，属容易题．它考查学生的逻辑推理能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．
【难点中心】1．解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断；
2．要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可．通常举分段函数．
III．理论基础·解题原理
考点一 四种命题及其真假的判断
（1）命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题．其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题．常用小写的拉丁字母，，，，……表示命题．
（2）四种命题及其关系
①四种命题及其关系
。 。 ]
②四种命题的真假关系
同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．
考点二 含有逻辑联结词命题真假的判断
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题；
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．
（1）复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）．
（2）复合命题的真假判断：“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．
（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：
①真至少一个真假；
②假都假真；
③真都真假；
④假至少一个假真；
⑤真假；假真．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．若为新定义题，则难度加大．
【技能方法】
（1）写出命题的四种形式中的某种时，要注意分清原命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论与原命题之间的关系．判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题等价简化，再进行判断．判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．要判断一个命题是假命题只需举出反例．
（2）从集合的角度认识“或、且、非”：
“或”是具有“选择性”的逻辑联结词，“或”的符号是“”，与集合的并集符号“”含义一致；“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，“且”的符号是“”，与集合的交集符号“”含义一致；“非”是具有“否定性”的逻辑联结词，“非”的符号是“”，与集合的补集符号“”含义一致．因此常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题．
【易错指导】
（1）在四种命题的构造中，否命题和逆否命题都涉及对一些词语的否定，要特别注意下表中常见词语的否定．
词语
是
都是
大于
小于
至少一个
至多一个
至少个
至多有个
成立
]
成立
词语的否定
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少两个
至多有个
至少有个
不成立 ]
不成立
（2）含逻辑联结词的命题的判断易错点有两处：一是对构成它的命题的真假的判断出错；二是对构成它的命题的真假的判断对，但是对含有逻辑联结词的命题的真值表中的“且”与“或”搞混，应注意“”是两真才真，一假必假；“”是一真必真，两假才假，应注意区别．
（3）否命题与命题的否定是两个不同的概念，它们的区别如下表：
否命题
命题的否定
否命题是既否定其条件，又否定其结论 学 ]
命题的否定只是否定命题的结论
区别
否命题与原命题的真假无必然联系
命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假
V．举一反三·触类旁通
考向1 四种命题及其真假的判断
【例3】【2018河南豫南九校期末考】下列说法正确的是（ ）
A．“函数为奇函数”是“”的充分不必要条件
B．在中，“”是“”的既不充分也不必要条件
C．若命题为假命题，则都是假命题
D．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
【答案】D
【例4】【2018吉林长春五校1月联考】以下有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．“”是“”成立的必要不充分条件
C．对于命题，使得，则，均有
D．若为真命题，则与至少有一个为真命题
【答案】D
【解析】对于A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”正确；对于B．“”则“”，故“”是“”成立的必要不充分条件，正确；对于C．对于命题，使得，则，均有，正确；对于D．若为真命题，则与至少有一个为真命题，故D错误，故选D 学
【例5】【2018超级全能生9月联考】下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则．”的否命题是“若，则．”
B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件
C．
D．若命题，则
【答案】D
【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错．在定义上并不是单调递增函数，所以B错．不存在，C错．全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D．
【跟踪练习】
1．【2018河南郑州一模】下列说法正确的是（ ）
A．“若，则”的否命题是“若，则”
B．“若，则”的逆命题为真命题
C．，使成立
D．“若，则”是真命题
【答案】D
2．【2018湖南十四校联考二】下列有关命题的说法中错误的是（ ）
A．设，则“”是“”的充要条件
B．若为真命题，则，中至少有一个为真命题
C．命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
D．命题“，且”的否定形式是“，且”
【答案】D
【解析】A．设 ，则，则当时，函数 为增函数，
当 时，函数为增函数， 函数）在 上是增函数，则若，则，即|成立，则“”是“”的充要条件，故A正确；B若为真命题，则，中至少有一个为真命题，正确；C命题的逆命题是若的图象不经过第四象限，则是幂函数，错误比如函数 的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故C正确，D．命题“，且”的否定形式是 ，故d 错误，故选D ．
【名师点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．学
3．【2018江西八校4月联考】给出下列四个命题：
①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；
②“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题，则；
④命题“，使得”的否定是：“均有”．
其中不正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
考向2 含有逻辑联结词命题真假的判断
【例6】【2018湖北八校12月联考】已知命题，且，命题，．下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于命题，当时，且成立，故命题为真命题；对于命题，∵，其最大值为，故，为真命题，由以上可得为真，故选A．
【例7】【2018豫南九校联考二】已知命题： ，使得；命题：在中，若，则，下列判断正确的是（ ）
A．为假 B．为假 C．为假 D．为真
【答案】C
【解析】∵，∴命题p为假命题；∵，∴，由正弦定理易得： ，命题q为真命题；∴为假命题，故选C．
【例8】【2018福建漳州1月调研】已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数的最小值为，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．()∧q C． (p∨q) D．p∧(q)
【答案】B
【跟踪练习】
1．【2018福建闽侯四中期末考】已知命题 “”是“”的充要条件； ，则（ ）
A．为真命题 B．为假命题 C．为真命题 D．为真命题
【答案】D
【解析】函数是增函数，所以，所以是充要条件，所以命题使正确的，为真命题，由图像可知和关于直线对称，没有交点，所以不存在，使，所以命题使错误的，为假命题，根据复合命题的真假可知是真命题，故选D．
2．【2018广西防城港市1月模拟】已知命题 “若，则”；命题 “若，，则”，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．【2018华大新高考联盟1月考】设命题向量，则在方向上的投影为，命题是的必要非充分条件，则下列说法正确的是（ ）
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是真命题
【答案】D
【解析】由题意可得： ，则，则两向量的夹角为，在方向上的投影为，命题为真命题，很明显命题为假命题，
逐一考查所给的选项：A．命题是真命题；B．命题是假命题；C．命题是假命题；D．命题是真命题，故选D．
【名师点睛】为真，即p与q同时为真．为假，即p与q中至少有一个为假；
为真，即p与q至少有一个为真．为假，即p与q同时为假．