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- 2021-04-14 发布
课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．某物体一天中的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t＝0表示中午12时，其后t值取为正，则上午8时的温度是( )
A．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃
2．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
4．某工厂生产一种仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器的每台售价P(元)与每月生产量x台的关系为P＝500－x.为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器的台数为________．(注：利润＝销售收入－总成本)
5．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )
图K12－1
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．
A．(1)(2)(4) B．(4)(2)(3)
C．(1)(2)(3) D．(4)(1)(2)
6．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿费的11%纳税．某人出了一本书，共纳税420元，这个人稿费为( )
A．3600元 B．3800元
C．4000元 D．4200元
图K12－2
7．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用材料隔成三个面积相等的矩形(如图K12－2)，则围成的矩形场地的最大面积为( )
A．1000米2 B．2000米2
C．2500米2 D．3000米2
8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是( )
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有，则m的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
10．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml，那么，该人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)
11． 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6.设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．
12．如图K12－3所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法：
图K12－3
(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；
(2)人民生活收入增长最快的一年是2008年；
(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；
(4)虽然2010年生活收入指数增长缓慢，但由于生活价格指数略有降低，因而人民生活有较大的改善．
其中说法正确的是________(填写序号即可)．
13． 某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为________________．
14．(10分)某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图K12－4(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)(注：利润与投资量的单位：万元)．
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2)该公司有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
图K12－4
15．(13分)运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．
16．(12分) 请你设计一个包装盒，如图K12－5所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
图K12－5
课时作业(十二)
【基础热身】
1．A [解析] 因为t＝0表示中午12时，则上午8时为t＝－4，代入函数即可得到A.
2．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y＝a＋bx.
3．B [解析] 画出函数的大致图象，如图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数图象位于二次函数图象的上方，二次函数图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．
4．200 [解析] 利润y＝(500－x)x－100x－20000＝－(x－200)2＋20000，所以当x＝200时，y有最大值．
【能力提升】
5．D [解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应选图象(4)；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象(1)；最后加速，故应选图象(2)．
6．B [解析] 设这个人的稿费为x元，显然800＜x≤4000，否则若x≤800，则不纳税，
若x>4000，则纳税额应大于4000×11%＝440元，不合题意．因此有(x－800)×14%＝420，
解得x＝3800.
7．C [解析] 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如题图，则4x＋3y＝200.又S＝3xy＝3x·＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500，∴当x＝25时，Smax＝2500.
8．D [解析] 买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为＝元，而>，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3＞2.1，故卖1大包盈利多．
9．D [解析] 令a＝aent，即＝ent，因为＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.
10．5 [解析] 设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/ml，则有0.3·x≤0.09，即x≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．
11．0.6,1,0.8 [解析] 函数模型y＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．
设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c，
则
①代入③有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2＝13.2，当且仅当时等号成立，
解得a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8.
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．
12．(1)(2)(4) [解析] 本题是一个图表信息题，题中只给出一份统计图，利用统计图中所含的信息去分析．由题意，“生活收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活收入指数”在2008～2009年最陡，故(2)正确；“生活价格指数”在2008年～2009年最陡，故在2008年上涨速度最快，故(3)不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确．
13．③ f(x)＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤12，x∈Z)
[解析] 因为f(x)＝pqx，f(x)＝logax＋q是单调函数，f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p中，f′(x)＝3x2－(4q＋2)x＋q2＋2q，
令f′(x)＝0，得x＝q或x＝，f′(x)有两个零点，f(x)可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p为其成绩模拟函数．
由f(1)＝4，f(3)＝6得解得
故f(x)＝x3－9x2＋24x－12(1≤x≤12，且x∈Z)．
14．[解答] (1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图(1)，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝.
由图(2)，得g(4)＝1.6，即k2×＝1.6.∴k2＝，
故f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设公司利润为y万元，
由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－x＋＋2(0≤x≤10)．
∵y＝－x＋＋2＝－(－2)2＋，0≤≤，
∴当＝2，即x＝4时，ymax＝＝2.8，
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元．
15．[解答] (1)行车所用时间为t＝，y＝×2×＋，x∈[50,100]，
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．
(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时，上述不等式中等号成立．
故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．
【难点突破】
16．[解答] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)，
由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.