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- 2021-04-14 发布
青岛二中2018-2019学年第三学期段期中高一模块考试一
（数学）试题
一、选择题
1.下列命题正确的是
A. 若 a＞b,则a2＞b2 B. 若a＞b，则 ac＞bc
C. 若a＞b，则a3＞b3 D. 若a>b，则 ＜
【答案】C
【解析】
对于，若，，则不成立；对于，若，则不成立；对于，若，则，则正确；对于，，，则不成立.
故选C
2.设直线是空间中两条不同的直线，平面是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若∥，∥，则∥ B. 若∥，∥，则∥
C. 若∥，∥，则∥ D. 若∥，，则∥
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A. 若∥，∥，则与平行或异面或相交，所以该选项不正确；
B. 若∥，∥，则∥或，所以该选项不正确；
C. 若∥，∥，则∥或，所以该选项不正确；
D. 若∥，，则∥，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3.等腰直角三角形，直角边长为.
以斜边所在直线为旋转迪，将该直角三角形旋转一周所得几何的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．
【详解】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
由题得等腰直角三角形的斜边上的高为1.
所以
．
故选：．
【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4.的三个内角的对边分别是.已知，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用正弦定理求出角C,再求角A得解.
【详解】由正弦定理得
因为c＞b,所以或.
所以或.
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
5.一个等差数列共有项，奇数项之和为，则这个数列的中间项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设数列为，由题得即得解.
【详解】设数列为，由题得，
所以.
所以这个数列的中间项为13.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6.在中，角所对的边分别为.若，，，则的形状可能是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 钝角或锐角三角形 D. 锐角、钝角或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理得, 求出角B的范围，再求出角C的范围得解.
【详解】由正弦定理得,
因为，，所以,且,
所以.
所以三角形是锐角三角形或钝角三角形.
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7.等差数列，的前项和分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用即可得解.
【详解】由题得.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8.设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题得，再利用基本不等式求最值得解.
【详解】因为是与的等比中项，
所以.
所以
当且仅当时取等
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.已知函数，若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得 对任意实数恒成立，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由题得已知函数对任意实数恒成立，
所以 对任意实数恒成立，
因为（当且仅当x=2时取等）
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.若等差数列单调递减，为函数两个零点，则数列的前项和取得最大值时，正整数的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，再得到，即得解.
【详解】因为等差数列单调递减，为函数的两个零点，
所以.
令.
所以，
所以数列前4项或前5项的和最大.
故选：C
【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直棱柱成为“堑堵”.某个“堑堵”的高为，且该“堑堵”的外接球表面积为，则该“堑堵”的表面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,求出，再利用基本不等式求出a+b的范围，利用二次函数的图象得解.
【详解】设底面直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,
由题得.
由题得该“堑堵”的表面积为.
因为.
所以
令，
所以当t=4时，S最大为.
故选：B
【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12.已知数列的前项和，数列满足，是数列的前项和，若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，，再利用数学归纳法证明即得解.
【详解】因为，所以适合n=1,所以.
所以，
所以
，
下面利用数学归纳法证明不等式
（1）当时，左边，右边，左边右边，不等式成立，
（2），即．即，
，
，
假设当时，原式成立，即，
那么当时，即，
即时结论成立．
根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数都成立．所以，
因为0＜a＜1，所以，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题
13.已知等比数列的前项和，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
求出，，解方程即得解.
【详解】当n=1时，，
当n≥2时，，适合n=1.
所以.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.已知函数，，若实数，则的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
求出，再利用基本不等式求解.
【详解】由题得，
所以.
当且仅当时取等.
故答案为：4
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15.在中，，的角平分线交于点，若，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用余弦定理求出，得到，再利用正弦定理得解
【详解】在△ABC中，由余弦定理得.
所以.所以.
在△ABD中，由正弦定理得.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.如图所示，在正方体中，点是棱的中点，动点在体对角线上（点与点，不重合），则平面可能经过该正方体的顶点是______.（写出满足条件的所有顶点）
【答案】
【解析】
【分析】
取中点E，取中点F, 在平面两侧，在平面两侧，分析即得解.
【详解】
见上面左图，取中点E，因为ME,所以A,M,E,四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;
见上面右图，取中点F,因为,所以四点共面，在平面两侧，所以和平面交于点N,此时平面AMN过点A, ;
综上，平面可能经过该正方体的顶点是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查棱柱的几何特征和共面定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题
17.证明：对任意实数，不等式恒成立.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用分析法证明即可.
【详解】要证明对任意实数，不等式恒成立，
只需证明，
只需证明，
只需证明，
只需证明，
只需证明，
而显然成立，
所以对任意实数，不等式恒成立.
所以原题得证.
【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
18.在中，角所对的边分别是，且.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，的面积为，求.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）8.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化简即得角B的大小；（Ⅱ）先求出ac=15,再利用余弦定理求出a+c的大小即得解.
【详解】（Ⅰ）由题得,
因为,所以.
（Ⅱ）由题得.
由，
所以.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19.已知数列的前项和满足，且.求数列的前项和.
【答案】数列的前项和
【解析】
【分析】
先通过已知求出，再分类讨论求出数列的前项和.
【详解】由题得，所以 ，
所以.
当n≥2时，
当n=1时，.
所以数列是一个以10为首项，以-2为公差的等差数列，
所以.
所以n≤6时，，n＞6时，.
设数列的前项和为,
当n≤6时，；
当n＞6时，.
所以数列的前项和.
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
20.在正方体中，点为棱的中点.问：在棱上是否存在点，使得∥面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】在棱上存在点，使得∥面，就是的中点.
【解析】
【分析】
如图，取的中点N,的中点E,连接DE,.证明平面平面即得解.
【详解】
如图，取的中点N,的中点E,连接DE,.
由题得,因为平面，平面，
所以NE平面.
由题得平面,平面,
所以平面.
因为平面,
所以平面平面，
因为平面,
所以平面.
所以在棱上存在点，使得∥面，就是的中点.
【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21.已知是数列的前项和，当时，，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）等比数列满足，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据得到数列是一个以0为首项，以4为公差的等差数列，即得数列的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减求数列的前项和.
【详解】（Ⅰ）由题得时，，
，
因为，.
所以数列是一个以0为首项，以4为公差的等差数列.
所以.
（Ⅱ）因为，所以.
所以.
所以，
两式相减得，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
22.已知数列的前项和满足，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列的前项和满足对任意正整数恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，问：是否存在正整数，使得对一切正整数恒成立？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）m=3时，使得对一切正整数恒成立.
【解析】
【详解】（Ⅰ）由题得，所以数列是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以.
当n≥2时，，适合n=1.
所以.
（Ⅱ），
所以，
所以或.
（Ⅲ）,
所以.
所以n≤2时，.
n＞2时，
所以m=3时，使得对一切正整数恒成立
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，考查数列的单调性和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23.在数列中，，.当时，.若表示不超过的最大整数，求的值.
【答案】2018
【解析】
【分析】
构造，推出数列是4为首项2为公差的等差数列，求出，利用累加法求解数列的通项公式．化简数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和，然后求解即可．
【详解】构造，则，
由题意可得，(n≥2).
故数列是以4为首项2为公差的等差数列，
故，
故，，，，
以上个式子相加可得，
．
所以，
则．
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.