2020届二轮复习排列数与组合数学案（全国通用） 11页

排列数与组合数 · 排列的定义 一般地，从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出 ‎ m ‎（m⩽n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出 ‎ m ‎ 个元素的一个排列（arrangement）​．‎ · 排列数及排列数的公式 一般地，从 ‎ n ‎ 个不同​​元素中取出 ‎ m ‎（m⩽n ）个元素的所有不同排列的个数叫做从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出​ ‎ m ‎ 个元素的排列数，用符号 Anm 表示．​ ‎ Anm‎=nn-1‎n-2‎⋯n-m+1‎,‎ 这里， ‎ n ‎，​ ‎ m∈N‎*‎ ‎，​并且 ‎ m⩽n ‎．这个公式叫做排列数公式． ‎ n ‎ 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 ‎ n ‎ 个元素的一个全排列​​，这时公式中 ‎ m=n ‎，即有 Ann‎=n×n-1‎×n-2‎×⋯×3×2×1.‎ 正整数 ‎ 1 ‎ 到 ‎ n ‎ 的连乘积，叫做 ‎ n ‎ 的阶乘，用 ‎ n! ‎ 表示．另外，我们规定 ‎ 0!=1 ‎．所以排列数公式还可以写成 ‎ Anm=n！‎n-m‎！‎.‎ · 组合的定义 一般地，从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出 ‎ m ‎（m⩽n）个元素合成一组，叫做从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出 ‎ m ‎ 个元素的一个组合（combination）​．‎ · 组合数及组合数的公式​ 从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出 ‎ m ‎（m⩽n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 ‎ n ‎ 个不同元素中取出 ‎ m ‎ 个元素的组合数，用符号 ‎ ‎Cnm ​ 表示．​ ‎ Cnm‎=AnmAmm=nn-1‎n-2‎⋯‎n-m+1‎m！‎,‎ 这里 ‎ n，m∈‎N‎*‎，并且（m⩽n）．这个公式叫做组合数公式．因为 ‎ Anm=‎n！‎n-m‎！‎，所以组合数公式还可以写成 Cnm‎=n！‎m！n-m！‎​,‎ 另外，我们规定 ‎ Cn‎0‎=1‎．‎ · 组合数的性质 性质 ‎1‎：Cnm‎=‎Cnn-m； 性质 ‎2‎：Cn+1‎m‎=Cnm+‎Cnm-1‎．‎ 精选例题 排列数与组合数 ‎ 1. 某学生希望参加某 ‎6‎ 所高校中的 ‎3‎ 所学校的自主招生考试，其中甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考甲、乙这两所学校，则该学生不同的报考方法种数是  （用数字作答）．‎ ‎【答案】    ‎‎16‎ ‎【分析】    由题意分两种情况，‎ 若报考的 ‎3‎ 所中，不含考试事件相同的两所，则有 C‎4‎‎3‎‎=4‎ 种报考方法，‎ 若报考的 ‎3‎ 所中，含考试事件相同的两所中的一个，则有 C‎2‎‎1‎‎⋅C‎4‎‎2‎=12‎ 种报考方法，‎ 故该学生不同的报考方法种数 ‎12+4=16‎ 种．‎ ‎ 2. 某运输公司有 ‎7‎ 个车队，每个车队的车辆均多于 ‎4‎ 辆．现从这个公司中抽调 ‎10‎ 辆车，并且每个车队至少抽调 ‎1‎ 辆，那么共有  种不同的抽调方法．‎ ‎【答案】    ‎‎84‎ ‎【解】    由于每队至少抽 ‎1‎ 辆，先从每队抽一辆车，则问题转化为从 ‎7‎ 个车队中抽 ‎3‎ 辆车，‎ 分类讨论．‎ ‎① ‎3‎ 辆车都从 ‎1‎ 个队抽，有 C‎7‎‎1‎ 种；‎ ‎② ‎3‎ 辆车从 ‎2‎ 个队抽，有 A‎7‎‎2‎ 种；‎ ‎③ ‎3‎ 辆车从 ‎3‎ 个队抽，有 C‎7‎‎3‎ 种．‎ 综上所述，共有 C‎7‎‎1‎‎+A‎7‎‎2‎+C‎7‎‎3‎=84‎ 种．‎ ‎ 3. 某车队有编号为 ‎1‎，‎2‎，‎3‎，‎4‎，‎5‎ 的 ‎5‎ 辆车，现为完成一件任务，需派三辆车按不同时间出车，其中若选取的车辆中有 ‎1‎ 号，‎4‎ 号时，则 ‎1‎ 号车一定要排在 ‎4‎ 号车的前面，则这样不同的派法共有  种（用数字作答）．‎ ‎【答案】    ‎‎57‎ ‎ 4. 某铁路货运站对 ‎6‎ 列货运列车进行编组调度，决定将这 ‎6‎ 列列车编成两组，每组 ‎3‎ 列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组 ‎3‎ 列列车先开出，那么这 ‎6‎ 列列车先后不同的发车顺序共有  种．‎ ‎【答案】    ‎‎216‎ ‎【分析】    先进行分组，从其余 ‎4‎ 列火车中任取 ‎2‎ 列与甲一组，不同的分法为 C‎4‎‎2‎‎=6‎（种）．‎ 由分步计数原理得不同的发车顺序为 C‎4‎‎2‎‎⋅A‎3‎‎3‎⋅A‎3‎‎3‎=216‎（种）．‎ ‎ 5. 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信．甲信箱中有 ‎10‎ 封，乙信箱中有 ‎20‎ 封，现有主持人抽奖确定幸运观众．若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有  种不同的结果．‎ ‎【答案】    ‎‎5600‎ ‎【分析】    由题意知本题是一个分两类计数问题：‎ ‎①幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有 ‎10×9×20=1800‎（种）．‎ ‎②幸运之星在乙箱中抽，同理有 ‎20×19×10=3800‎（种）．‎ 因此共有不同结果 ‎1800+3800=5600‎（种）．‎ ‎ 6. 甲、乙、丙三人站到共有 ‎7‎ 级的台阶上，若每级台阶最多站 ‎2‎ 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是  （用数字作答）．‎ ‎【答案】    ‎‎336‎ ‎【解】    对于 ‎7‎ 个台阶上每一个只站一人，则有 A‎7‎‎3‎ 种；‎ 若有一个台阶有 ‎2‎ 人，另一个是 ‎1‎ 人，则共有 C‎3‎‎1‎A‎7‎‎2‎ 种，‎ 因此共有不同的站法种数是 ‎336‎ 种．‎ ‎ 7. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 ‎4‎ 种蔬菜品种中选出 ‎3‎ 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有  种．‎ ‎【答案】     ‎18‎ ‎ ‎ 8. 已知 ‎20Cn+5‎n=4n+4‎⋅Cn+3‎n-1‎+15‎An+3‎‎2‎，则 n=‎  ．‎ ‎【答案】     ‎2‎ ‎ ‎【分析】     ‎20Cn+5‎n-4n+4‎Cn+3‎n-1‎=20Cn+5‎‎5‎-4n+4‎Cn+3‎‎4‎=20Cn+5‎‎5‎‎-‎Cn+4‎‎5‎=20‎Cn+4‎‎4‎，‎ 所以 ‎20Cn+4‎‎4‎=15‎An+3‎‎2‎，即 ‎20‎n+4‎n+3‎n+2‎n+1‎‎4!‎‎=15‎n+3‎n+2‎，解得 n=2‎（n=-7‎ 舍去）．‎ ‎ 9. 有 n 个球队参加单循环足球赛，其中 ‎2‎ 个队各比赛了三场就退出了比赛，这两队之间未进行比赛，这样到比赛结束共赛了 ‎34‎ 场，那么 n=‎  ．‎ ‎【答案】     ‎10‎ ‎ ‎【分析】     因为 ‎2‎ 个队各比赛了三场就退出了比赛，所以其余的 n-2‎ 个队进行 了 ‎34-2×3=28‎ 场比赛，‎ ‎ n-2‎ 个队按照单循环进行比赛，共有 Cn-2‎‎2‎ 场比赛，于是 Cn-2‎‎2‎‎=28‎ ，解得 n=10‎ ．‎ ‎10. 现有 ‎16‎ 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 ‎4‎ 张．从中任取 ‎3‎ 张，要求这 ‎3‎ 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 ‎1‎ 张，不同取法的种数为  ．‎ ‎【答案】    ‎‎544‎ ‎【分析】    由题意，不考虑特殊情况，共有 C‎16‎‎3‎ 种取法，其中每一种卡片各取三张，有 ‎4‎C‎4‎‎3‎ 种取法，故所求的取法共有 C‎16‎‎3‎‎-4C‎4‎‎3‎=560-16=544‎ 种．‎ ‎    (1)证明 Cn‎1‎‎+2Cn‎2‎+3Cn‎3‎+⋯+nCnn=n⋅‎‎2‎n-1‎；‎ ‎【解】        方法 1：‎ ‎     因为 ‎ k⋅Cnk=k⋅n!‎k!n-k!‎=n·n-1‎‎!‎k-1‎‎!n-k!‎=nCn-1‎k-1‎,‎ ‎ 所以 ‎ 原式=nCn-1‎‎0‎+nCn-1‎‎1‎+…+nCn-1‎n-1‎=nCn-1‎‎0‎‎+⋯+‎Cn-1‎n-1‎=n·‎2‎n-1‎.‎ ‎ 命题得证．‎ ‎    方法 2：（倒序相加）：‎ ‎    令 S=Cn‎1‎+2Cn‎2‎+3Cn‎3‎+⋯+nCnn，所以 S=nCnn+n-1‎Cnn-1‎+n-2‎Cnn-2‎+⋯+Cn‎1‎.‎ 因为 Cnk‎=‎Cnn-k，且 Cn‎0‎‎=‎Cnn，两等式相加，‎ ‎2S‎=nCnn+nCn‎1‎+nCn‎2‎+⋯+nCnn-1‎+nCnn‎=nCn‎0‎‎+Cn‎1‎+Cn‎2‎+⋯+‎Cnn‎=n·‎2‎n.‎ ‎ 所以 S=n⋅‎‎2‎n-1‎．命题得证．‎ ‎    (2)证明 ‎3‎‎4‎n‎<‎‎3‎n+3‎（n∈‎N‎+‎，且 n⩾2‎）．‎ ‎【解】        原不等式等价于 ‎4‎‎3‎n‎>‎n+3‎‎3‎．‎ ‎     因为 ‎ ‎4‎‎3‎n‎=‎‎1+‎‎1‎‎3‎n‎=Cn‎0‎+Cn‎1‎·‎1‎‎3‎+Cn‎2‎·‎1‎‎3‎‎2‎+⋯+‎Cnn‎1‎‎3‎n‎=1+n‎3‎+Cn‎2‎‎1‎‎3‎‎2‎+⋯+‎1‎‎3‎n>n+3‎‎3‎,‎ ‎ 所以原不等式成立．‎ ‎12. 某乒乓球队共有男女队员 ‎18‎ 个，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合，由于男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样共有 ‎64‎ 种组合方式，则此队中男队员有多少人？‎ ‎【解】        设男队员有 x 人，则女队员有 ‎18-x 人，去除 ‎2‎ 个主攻单打的男队员，男、女队员各选 ‎1‎ 人的方法有 Cx-2‎‎1‎C‎18-x‎1‎‎=64‎ 种，由 x-2‎‎18-x‎=64‎，解得 x=10‎，即此队中男队员有 ‎10‎ 人．‎ ‎13. 解不等式 A‎8‎x‎<6‎A‎8‎x-2‎．‎ ‎【解】        原不等式化为 ‎8!‎‎8-x‎!‎‎<6×‎8!‎‎10-x‎!‎,‎ 从而得 x‎2‎‎-19x+84<0,‎ 解得 ‎7‎Cn‎6‎．‎ ‎16. 解不等式：A‎9‎x‎>6‎A‎9‎x-2‎．‎ ‎17. 证明：A‎1‎‎1‎‎+2A‎2‎‎2‎+3A‎3‎‎3‎+⋯+nAnn=n+1‎!-1‎．‎ ‎18. 将 ‎6‎ 名腰鼓队员排成一个三角形阵，如图，有多少种不同的排法？‎ ‎19. 计算：A‎9‎‎5‎‎+‎A‎9‎‎4‎A‎10‎‎6‎‎-‎A‎10‎‎5‎．‎ ‎20. 求解下列问题：‎ ‎    (1)用排列数表示 ‎55-n‎56-n‎…‎‎69-nn∈N‎*‎ 且 n<55‎ ；‎ ‎    (2)计算 ‎2A‎8‎‎5‎+7‎A‎8‎‎4‎A‎8‎‎8‎‎-‎A‎9‎‎5‎ ；‎ ‎    (3)解方程： A‎2x+1‎‎4‎‎=140‎Ax‎3‎ ．‎