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- 2021-04-14 发布
安徽省淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题（理）
第Ⅰ卷（满分60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知，
，
，
故选：C.
2.已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】为纯虚数.
则
所以
故选：A
3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】都是实数，由“”有成立，反之不成立，例如.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
4.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，，则的中点为，,
所以的垂直平分线的方程为：，即.
故选：D.
5.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ）
A. 960 B. 1080 C. 1560 D. 3024
【答案】B
【解析】一盆菊花都没有的摆法种数为，只有一盆菊花的摆法种数为，
则至多有一盆菊花的摆法种数为，
故选：B.
6.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以为偶函数, 则当时，.
此时，
当时， 当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
在上，当时函数有最小值..
由为偶函数，根据选项的图像C符合.
故选：C.
7.在中，， ，点满足，点为的外心，则的值为（ ）
A. 17 B. 10 C. D.
【答案】D
【解析】取的中点，连接，
因为为的外心，，
，
，
，
同理可得，
故选：D.
8.已知的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是（ ）
A. B. C. 7 D. 70
【答案】C
【解析】令得，，，
的展开式通项公式为，
要求展开式中项的系数的最大值则必为偶数，
，
故选：C.
9.已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】双曲线的焦点在轴上，则；
设，由双曲线的定义可知：，
由题意可得：，
据此可得：，又 ，∴，
由正弦定理有:,即
所以，解得：，
所以的周长为：
=
故选：A.
10.已知是函数（，）的一个零点，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则函数的单调递增区间是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由已知，得，，
又，，
，即，，
，①；
又，
所得图象关于轴对称，，
，，将①代入消去得，，
，
时，，
，
，
令，，
，，
故选：D.
11.已知是函数的极值点，数列满足，，，记表示不超过的最大整数，则（ ）
A. 1008 B. 1009 C. 2018 D. 2019
【答案】A
【解析】，
是函数的极值点，
可得：，
即，
累加可得，
，
则.
故选：A.
12.己知与
图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程即为，
则方程有三个不相等的实根，
令得①，且，
∴函数在上单增，在上单减，
故，且时，，时，
∴方程①的两个根的情况是：
（i）若，则与的图象有四个不同的公共点，不合题意；
（ii）若且或，则与的图象有三个不同的公共点，
令，则，，此时另一根为，舍去；
令，则，，此时另一根为，舍去；
（iii）若且，则与的图象有三个不同的公共点，
令，则，解得.
故选：C.
第Ⅱ卷（满分90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】由，
所以
故答案为：.
14.若实数，满足，且的最小值为1，则实数的值为__________
【答案】
【解析】不等式组表示的可行域如图所示：必有
，
，
；
由图可得，当目标函数过点时，有最小值；
，
解得，
故答案为：.
15.已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为_____________
【答案】
【解析】，
，
，
两式相加得：，，
，
故答案为：.
16.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为____________
【答案】
【解析】由题意不妨设直线的方程为，
联立方程可得，
，
设，
∵，
，
，
则，
，即，
，
故答案为：.
三、解答题（共70分，答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每位考生都必须作答，第22题和23题为选考题，考生根据要求作答）
17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．
解：（Ⅰ）∵，由正弦定理可得，
又A是内角，∴，∴
∵，∴．
（Ⅱ）根据题意，为等边三角形，又．
在中，由于余弦定理得，，
解得，，∴，．
∴的面积．
18.已知等差数列的首项为1，公差为1，等差数列满足．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）由条件可知，，.
，， ，.
由题意为等差数列，，解得，
；
（2）由（1）知，，
①
则②
①-②可得，
.
19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
研发费用（百万元）
2
3
6
10
13
15
18
21
销量（万盒）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
45
6
（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．
附：（1）相关系数
（2），，，．
解：（1）由题意可知，
，
由公式，
，∴与的关系可用线性回归模型拟合；
（2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为
，，，
由题意， ，
.
20.已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可得，所以，，所以椭圆的方程为.
（2）直线的解析式为，设，，的中点为
．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，
故，所以，
因为，所以，即，所以
当时，，所以；
当时，，所以
综上：m取值范围是或.
21.已知函数，在区间有极值．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
（1）解：由 得，
当即时，，所以在[1,2]上单调递增，无极值；
当即时，，所以在[1,2]上单调递减，无极值；
当即，由得；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，
；
（2）证明：要证成立，只需证成立，
即证，
先证：.设，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，则，即①，
再证：.设，则.
所以在上单调递增，则，即.因为，
所以②，
由①②可，所以.
四、选考题（10分）：请考生在第（22）、（23）题中任意选择—题作答并在答题卡相应位置涂黑．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.
22.在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．
解：（1）因为，所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为
（2）将代入
得得， 所以
因为的半径为1，则的面积为
23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－3时，f（x）＝
当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；
当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.
所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分
(2)f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，
故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．