高考数学专题复习：合情推理(2) 4页

第二章 2.1.1合情推理 一、选择题 ‎1、观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)‎ A．f(x) B．－f(x)‎ C．g(x) D．－g(x)‎ ‎2、观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)‎ A．■ B． C．□ D．○‎ ‎3、给出下列三个类比结论：‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；‎ ‎②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；‎ ‎③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ 其中结论正确的个数是(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎4、根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于(　　)‎ ‎1×9＋2＝11‎ ‎12×9＋3＝111‎ ‎123×9＋4＝1111‎ ‎1234×9＋5＝11111‎ ‎12345×9＋6＝111111‎ ‎……‎ A．1111110 B．1111111‎ C．1111112 D．1111113‎ ‎5、已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是(　　)‎ A．n2－1 B．(n－1)2＋1‎ C．2n－1 D．2n－1＋1‎ ‎6、下列说法正确的是(　　)‎ A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论不能判断正误 二、填空题 ‎7、观察下列等式：‎ ‎①cos 2α＝2cos2α－1；‎ ‎②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；‎ ‎③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；‎ ‎④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；‎ ‎⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.‎ 可以推测，m－n＋p＝________.‎ ‎8、观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．‎ ‎9、已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________________________________________．‎ 三、解答题 ‎10、已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：－＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．‎ ‎11、已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝ (n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推测an的表达式．‎ ‎12、观察等式sin220°＋sin240°＋sin 20°·sin 40°＝；‎ sin228°＋sin232°＋sin 28°·sin 32°＝.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]‎ ‎2、A　[图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．]‎ ‎3、B ‎4、B　[由数塔可以猜测，结果是各位都是1的七位数，即1111111.]‎ ‎5、C　[a2＝‎2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝‎2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝‎2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1.故选C.]‎ ‎6、B　[合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论．]‎ 二、填空题 ‎7、962‎ 解析　观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右边的表达式各项系数和均为1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.‎ 对于等式⑤，令α＝60°，则有 cos 600°＝512·－1 280·＋1 120·＋n＋p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，‎ 联立方程组 得 ‎∴m－n＋p＝962.‎ ‎8、13＋23＋33＋43＋53＋63＝212‎ ‎9、正四面体的内切球的半径是高的 解析　原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar⇒r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr⇒r＝h，即正四面体的内切球的半径是高的.‎ 三、解答题 ‎10、证明　类似性质为：若M、N为双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与P点位置无关的定值．其证明如下：‎ 设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，‎ 其中－＝1，即n2＝(m2－a2)．‎ ‎∴kPM＝，kPN＝，‎ 又－＝1，即y2＝(x2－a2)，‎ ‎∴y2－n2＝(x2－m2)．‎ ‎∴kPM·kPN＝＝.‎ 故kPM·kPN是与P点位置无关的定值．‎ ‎11、解　由a1＝S1＝得，a1＝，‎ 又a1>0，所以a1＝1.‎ 当n≥2时，将Sn＝，‎ Sn－1＝的左右两边分别相减得 an＝－，‎ 整理得an－＝－，‎ 所以a2－＝－2，即a＋‎2a2＋1＝2，‎ 又a2>0，所以a2＝－1.‎ 同理a3－＝－2，即a＋‎2‎a3＋2＝3，‎ 又a3>0，所以a3＝－.‎ 可推测an＝－.‎ ‎12、解　∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，‎ ‎∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，‎ 则sin2α＋sin2β＋sin α·sin β＝.‎