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- 2021-04-13 发布
定远重点中学2020届高三下学期4月模拟考试
文科数学
本卷满分150分，考试用时120分钟。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合，集合，则
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，复数，若，则
A. 0 B. 2 C. D. 1
3.2019年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王被选中的概率为
A. B. C. D.
4.等比数列的各项均为实数，其前项和为,己知,则=
A. 32 B. 16 C. 4 D. 64
5.根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是
A. B. C. D.
6.若对圆上任意一点， 的取值与无关，则实数的取值范围是
A. B. C. 或 D.
7.函数的图象大致是
8.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为
A. B.
C. D.
9.椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是
A. B. C. D.
10.在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是
A. B. C. D.
11.定义在Ｒ上的连续函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为
A. B. C. D.
12.已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量（毫克/升）与时间（小时）的关系为．如果在前小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花费的时间为______小时．
14.已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为 __________．
15.如图，正方形的边长为，点分别在边上， 且．将此正方形沿切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为________．
16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17. （本小题满分12分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；
（2）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
18. （本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2-5n（n∈N+）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
19. （本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将，分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M．
求证：；
求三棱锥的体积．
20. （本小题满分12分）设函数 .
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：.
21. （本小题满分12分）动点在抛物线上，过点作垂直于
轴，垂足为，设.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线： （为参数），以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于， 两点，求点到， 两点的距离之积．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数与的图像恒有公共点，求实数的取值范围.
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.B 11.A 12.D
13. 14. 15. 16.
17.【解析】（1）由后面四组数据求得，，
，，
∴＝，
．
∴．
当x＝10时，，而23.6﹣23＝0.6＜1；
当x＝11时，，而25﹣25＝0＜1．
∴求出的线性回归方程是“恰当回归方程”；
（2）由1.4x+9.6≤35，得x．故间隔时间最多可设置为18分钟．
18.（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以,时,
也适合，所以
（2）因为，
所以
两式作差得：
化简得，
所以.
19. 证明：（1）在正方形ABCD中，，，
在三棱锥中，有，，且，
面MEF，则；
解：（2）、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，
，
，
由（1）知，．
20.解：（Ⅰ）的定义域为，，
当时，，则函数在区间单调递增；
当时，由得，由得.
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，由得，由得，
所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减.
综上所述，当时，函数在区间单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，
要证，即证，即证：.
令 ，则 .
令，易见函数在区间上单调递增.
而，，
所以在区间上存在唯一的实数，使得，
即，且时，时.
故在上递减，在上递增.
∴ .
又，∴ .
∴成立，即成立.
21.（Ⅰ）； （Ⅱ）1
解析：（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，
（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，设方程为，
联立得
由韦达定理得
（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得.
（2）当直线不经过点即且时，，
所以的最小值为.
方法二：同上
故，所以的最小值为
方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：
化简整理得：
，令，则
22.解析：（1）由题知，曲线化为普通方程为，由，得，所以直线的直角坐标方程为
．
（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），
代入曲线： 中，化简，得，
设， 两点所对应的参数分别为， ，则，所以．
23.（1）（2）
解析：（1）当时，
由的不等式的解集为
（2）由二次函数该函数在处取得最小值2，
因为在处取得最大值,
所以要使二次函数与函数的图像恒有公共点，只需