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- 2021-04-13 发布
淮北一中 2016-2017 学年度下学期高二期中考试
数学试卷（理科）
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷相应的位置。
2、全部答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3、本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷
一、 选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合 M={x | 0 £ x £ 2, x Î Z} N={x | x2 - 3x + 2≤0}，则 M Ç N =( )
A. ｛0，1｝ B. [0, 2] C. [1, 2] D. ｛1，2｝
2.已知复数 z 满足 (z + i)(1- 2i) = 2 ，则复数 z 在复平面内的对应点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中
点到 y 轴的距离为（
）
A． 3
B．1
C． 5
D． 7
4
4
4
ì1+ log2 (2 - x), x <1,
, f (-2) + f (log2 12) = (
)
4．设函数 f (x) = í
, x ³1,
î2x-1
A．3
B．6
C．9
D．12
5．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则
截去部分体积与剩余部分体积的比值为(
)
A．
1
B．
1
C．
1
D．
1
5
7
6
8
6．若 m∈R，则“log6m=﹣1”是“直线 l1：x+2my﹣1=0 与 l2：（3m﹣1）x﹣my﹣1=0 平行”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
p
cos 2 x
7.
ò04
dx = （
）
cos x + sin x
1
A． 2(
2
-1)
B．
+1
C．
-1D． 2 -
2
2
2
ìx + y - 3
£ 0
x + 2 y
ï
8. 若变量 x、y 满足约束条件 í x - y +1
³ 0 ，则 z=
的最小值为（
）
x
ï
y ³ 1
î
A．0B．2
C．1
D．3
9．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够
自由交谈，事先了解到的情况如下：
甲是中国人，还会说英语．
乙是法国人，还会说日语．
丙是英国人，还会说法语．
丁是日本人，还会说汉语．
戊是法国人，还会说德语．
则这五位代表的座位顺序应为（
）
A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁
10．如图，在△ ABC 中, AN = 1 NC , P 是 BN 上的一点,
3
¾¾®
¾¾®
¾¾®
若 AP = m AB + 2
AC ,则实数 m 的值为(
)
9
B． 1
C． 1
A．1
D． 3
9
3
11 .函数 f(x)＝sin(2x＋φ) |φ|<
π
的图像向左平移π个单位长度后所得图像关于原点对称，
2
6
0，π
则函数 f(x)在
2
上的最小值为(
)
B．－1
C.1
D.
A．－
3
3
2
2
2
2
12．若函数 f（x）=aex﹣x﹣2a 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（
）
A． (-¥, 1)
B． (0, 1)
C．（﹣∞，0）
D．（0，+∞）
e
e
第Ⅱ卷
二、 填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分.)
13. 命题“"x∈R，x2-x+3>0”的否定是
14．已知数列{an } 的前 n 项和 Sn = 2n + 3 ，则数列{an }的通项公式为___________.
15．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，
则 E 的离心率为
2
1
2
x2
1
16.已知函数 f (x)（ x ÎR ）满足 f (1) =1，且 f (x)的导数 f ¢(x ) <
2
，则不等式 f (x
) <
+
2
2
的解集为
．
三、 解答题（本大题共 6 小题，70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 10 分）已知△ABC 是等边三角形，
D 在 BC 的延长线上，且 CD=2， SDABD = 63 ．
（Ⅰ）求 AB 的长；
（Ⅱ）求 sin∠CAD 的值．
18.（本小题满分 12 分）已知数列{an }满足 a1 =1， an+1 = 3an +1.
（Ⅰ）证明{an + 12}是等比数列，并求{an }的通项公式；
1
1
1
3
(1 -
1
) 的大小，并证明你的结论。
（Ⅱ）猜测
+
+…+
与
2
a
a
2
a
n
3n
1
19. （本小题满分 12 分）设函数 f (x) = a 2 ln x - x2 + ax, (a > 0) .（注：e 为自然对数的底数）
（I）求 f (x) 的单调区间
（II）求所有实数 a ，使 e -1 £ f (x) £ e2 对 x Î[1, e] 恒成立。
20．（本小题满分 12 分）如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点．将△ADE沿 DE 折起使得平面 ADE⊥平面 BCDE，如图 2，F 是折叠后 AC 的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面 ADE；（Ⅱ）求二面角 E﹣AB﹣D 的平面角的余弦值．
3
21. （本小题满分 12 分）已知直线 l:y=x+1,圆 O: x2 + y2 = 32 ,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C:
x2
+
y2
= 1, (a > b > 0)
的短轴长相等,椭圆的离心率 e =
2
.
a2
b2
2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程；
(Ⅱ)过点 M (0, - 13) 的动直线 l0 交椭圆 C 于 A. B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，
使得无论 l0 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请
说明理由。
22.已知函数 f (x) = ln (x +1), g (x) = 12 x2 - x .
（Ⅰ）求过点 (-1, 0) 且与曲线 y = f (x)相切的直线方程；
（Ⅱ）设 h (x) = af (x)+ g (x)，其中 a 为非零实数， y = h (x) 有两个极值点 x1 , x2 ，且 x1 < x2 ，
求 a 的取值范围;
（III）在（Ⅱ）的条件下，求证： 2h (x2 )- x1 > 0 .
理科数学参考答案
一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
C
A
A
C
B
D
B
A
D
二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分.)
13. 14．
15. 16.
三、解答题
17．（本小题满分10分）
【解答】：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．
（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．
所以．在△ACD中，因为，所以．
18．（本小题满分12分）
【解答】：（1）
(2)结论：
19.（本小题满分12分）
【解答】：（Ⅰ）因为，其中，
所以。
由于，所以的增区间为（0，a）,减区间为（a,+∞）
（Ⅱ）证明：由题意得， ，即
由（Ⅰ）知在[1,e]恒成立，
要使对恒成立，
只要
解得。
20.（本小题满分12分）
【解答】： （Ⅰ） 证明：取AD中点G，连结EG，FG，
∵F为AC中点，∴，
∴，
∴四边形EBFG是平行四边形
∴BF∥EG，又BF⊄平面ADE，EG⊂平面ADE，
∴EG∥平面ADE
（Ⅱ） 如图示以E为坐标原点，
建立空间直角坐标系
则由已知得A，
B（1，0，0），D（﹣1，2，0）
设平面EAB的法向量为
则
解得一个法向量为
设平面ABD的法向量为
则
解得一个法向量为
∵，
∴二面角E﹣AB﹣D的平面角的余弦值．…（15分）
21．（本小题满分12分）
【解答】：(Ⅰ)则由题设可知b=1,
又e=,∴,∴a2=2 所以椭圆C的方程是.
(Ⅱ)若直线与y轴重合,则以AB为直径的圆是x2+y2=1①
若直线垂直于y轴,则以AB为直径的圆是 ②,由①②解得.
由此可知所求点T如果存在,只能是(0,1)
事实上点T(0,1)就是所求的点。
下面证明当直线的斜率存在且不为0时T(0,1)也符合要求。
设的方程为,代入椭圆方程,并整理,得(18k2+9)x2−12kx−16=0
设点A. B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则,
∵,
∴
∴即以AB为直径的圆恒过定点T(0,1)
综上可知,在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件
22.（本小题满分12分）
【解答】：（Ⅰ）
设切点为，则切线的斜率为
点在上，
，解得
切线的斜率为，切线方程为
（Ⅱ）
当时，即时，在上单调递增；
当时，由得，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由得，在上单调递减，在上单调递增.
当时，有两个极值点，即，即a的范围是（0,1）
（III）由（Ⅱ）知，由得，
由
，即证明
即证明
构造函数，
在上单调递增，
又，所以在时恒成立，即成立
.