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- 2021-04-13 发布
2018届高考数学（理）大题狂练
命题角度2：空间位置关系证明与线面角求解
1.如图，三棱柱中， ， ， 分别为棱的中点.
（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明.
（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）.
试题解析：
（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.
（2）连结，∵，∴为正三角形.
∵为的中点，∴，
又∵侧面侧面，且面面，
平面，∴平面，
在平面内过点作交于点，
分别以的方向为轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则， .
∵为的中点，∴点的坐标为，
∴.
∵，∴，∴，
设平面的法向量为，
由得，
令，得，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性.
2. 如图，正方形的对角线与相交于点，四边形为矩形，平面平面.
（1）求证:平面平面；
（2）若点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再借助面面垂直的判定定理推证；（2）先依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的数量积公式及向量的运算的坐标运算进行分析求解：
试题解析：
(1) 证明: 为正方形， ,四边形为矩形， , ,又平面,又平面,平面平面.
设平面的法向量为,由，即,令,得,由
.得直线与平面所戍角的正弦值即为.
点睛：立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一，也高考重点考查的考点和热点。这类问题的设置一般有两类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积面积以及角度距离的求解与计算等问题。求解第一
类问题时，要充分借助和运用线面位置关系的判定定理或性质定理进行分析推证；解答第二类问题时，通常是先建立空间直角坐标系，再运用向量的有关知识及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解。
3.如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则，，，，所以，，．设平面的法向量为，由，，得且．取，得，，
所以是平面的一个法向量．因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为，所以，（2）由（1）知，则，．设（），则，
所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以， 即
因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．
设二面角的大小为，所以，
由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
（2）由（1）知，则，．
设（），则，
所以．
易知平面，所以是平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，
所以， 即，得或（舍）．所以，，所以线段的长为．
4.如图，在三棱柱中， 为的中点， ， .
（1）求证： 平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的有关知识与数量积公式分析求解：
（1）证明：
连结与相交于点，连结.
∵为中点，∴，
又∵平面平面，
∴平面.
如图，过在平面内作，垂足为．
∵平面平面，平面平面，
∴平面．
以点为原点， 的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，得下列坐标：
．
设平面的一个法向量，则
，∴，解之得．
∴．
又∵．∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
点睛：立体几何是高中数学中的传统题型，也是高考重点考查的热点与重要考点。求解本题的第一问的方法是依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问时，则先依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算等有关知识，求出法向量，再借助向量的数量积公式分析求解从而使得问题获解。
5.在矩形中， ， 是边的中点，如图（1），将沿直线翻折到的位置，使，如图（2）.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）已知， ， 分别是线段， ， 上的点，且， ， 平面，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2) 直线与平面所成角的正弦值为.
【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明平面，从而可得，由平面几何知识可得，由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PCE，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以点为原点，分别以， 所在直线为， 轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
又因为， ， 平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
（Ⅱ）在图（2）中，以点为原点，分别以， 所在直线为， 轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示.
由题意可知， ， ，
取的中点，连结.
由（Ⅰ）可知平面平面.
又因为，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
可得.
又因为，所以.
因为，可得.
设，可得.
所以.
又因为， ，
设平面的法向量为，
则令，可得，
所以
因为平面，所以，可得.
所以.
由（Ⅰ）可知平面，所以是平面的一个法向量， .
可得.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
6.如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，为的中点，点在线段上.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)试确定点的位置，使得直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.
【答案】（I）详见解析；（II）.
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得平面，然后利用线面垂直的定义得
(2)建立空间直角坐标系，,利用题意得到关于的方程，求解方程即可求得.
试题解析：
（Ⅱ）侧面底面，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，所以，，，
设，
则，，
所以，
易得平面的法向量．
设平面的法向量为，
由，，
得，令，得．
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以，即，所以，
即，解得，所以．
点睛：利用已知的面面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
7.如图，五面体中，四边形是菱形， 是边长为2的正三角形， ， ．
（1）证明： ；
（2）若点在平面内的射影，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）要证，可由平面证得，只需证明和即可；
（2）分析条件可得点在平面内的射影必在上， 是的中点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量即可.
（2）由（1）知，平面⊥平面
因为平面与平面的交线为，
所以点在平面内的射影必在上，
所以是的中点
如图所示建立空间直角坐标系，
，
所以， ，
设平面的法向量为，则
，取，则， ，
即平面的一个法向量为
所以与平面所成的角的正弦值为
点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
8.如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，.
（1）求二面角的余弦值；
（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则，，，，所以，，．设平面
的法向量为，由，，得且．取，得，，
所以是平面的一个法向量．因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为，所以，（2）由（1）知，则，．设（），则，
所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以， 即
试题解析：
（1）以D为坐标原点，建立如图所示空间
直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
由，，得且．
取，得，，
所以是平面的一个法向量．
因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．
设二面角的大小为，所以，
由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
设与平面所成的角为，
所以，
即，得或（舍）．所以，，所以线段的长为．
9.已知三棱台中， , ， ，平面平面，
（1）求证： 平面；
（2）点为上一点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析;（2）．
【解析】试题分析：（1）延长， ， 交于点．通过证明线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面．
（2）以为坐标原点， ， ， 为， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，计算即可.
（2）由于，由知， ，所以，且，
以为坐标原点， ， ， 为， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则， ， ， ， ．
设．
设平面的法向量为,
由，可取．
是平面的个法向量，
由二面角的大小为得：
．
所以为中点， ， ，
设与平面所成角为，则．
所以与平面所成角为正弦值为．
10.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面， 垂直于和， ， ， 是棱的中点．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是直线上的动点， 与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．
【解析】 试题分析：（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由，即可证明平面；
试题解析：
（Ⅰ）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ，
∴， ， ，
设平面的一个法向量为，
则∴令，得．
∵，
∴，∴平面．
（Ⅱ）易知平面的一个法向量为 ，设平面与平面所成的二面角为，
易知，则，∴，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设，则，易知平面的一个法向量为，
∴，
当，即时， 取得最大值，且．