数学理卷·2018届福建省东山二中高三上学期期中考试（2017 8页

东山二中高三（上）理科数学期中考试卷 2017.11 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分。 １、 i 是虚数单位，则复数 iz ii 21( )1   的共轭复数为 （ ） Ａ、 i2 Ｂ、 i2 Ｃ、 i 1 Ｄ、 i 1 ２、设命题 p ： nn N n2, 2   ，则 p 为（ ） Ａ、 nn N n2, 2   Ｂ、 nn N n2, 2   Ｃ、 nn N n2, 2   Ｄ、 nn N n2, 2   ３、已知函数 f x x sin cos x    2( ) ( 2 ) 1 是偶函数，则 sin cos   （ ） Ａ、 2 5 Ｂ、 2 5  Ｃ、 2 5  Ｄ、 0 ４、已知向量 a  ， b  满足 a 2   ， b 1   ，且 a b a b5( ) ( )2       ，则向量 a  ， b  的夹角 为 （ ） Ａ、  6 Ｂ、  3 Ｃ、 2 3 Ｄ、 5 6 ５、设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC CD 3   ，则 （ ） Ａ、 AD AB AC  1 4 3 3    Ｂ、 AD AB AC 1 4 3 3    Ｃ、 AD AB AC 4 1 3 3    Ｄ、 AD AB AC 4 1 3 3    ６、设 x y R a b, , 1, 1   ，若 x ya b a b3, 2 3    ，则 x y 1 1 的最大值是（ ） Ａ、 2 Ｂ、 3 2 Ｃ、1 Ｄ、 1 2 ７、在等差数列{ }na 中， a1 2012=- ，其前 n 项和 nS ，若 SS 1012 212 10- = ，则 S2012 的 值等于 （ ） Ａ、 2011 Ｂ、 2012 Ｃ、 2010 Ｄ、 2013 ８、利用数学归纳法证明不等式       1 1 11 ( )( 2 )2 3 2 1 * n f n n ,n N 的过程，由 n k 到 1n k  时，左边增加了 （ ） Ａ、1 项 Ｂ、 k 项 Ｃ、 12k 项 Ｄ、 2k 项 ９、在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， C 1cos 4  ， AC CB 2     ， 且 a b 5  ，则 c 等于 （ ） Ａ、 5 Ｂ、 13 Ｃ、 4 Ｄ、 17 10、设变量 x, y 满足约束条件 x y a x y x        8 6 ，且不等式 x y 2 14 恒成立，则实数 a 的取值 范围是 （ ） Ａ、[6,9] Ｂ、[6,10] Ｃ、[8,9] Ｄ、[8,10] 11、已知函数 f x ax x3 2( ) 3 1   ，若 f x( ) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 0 ，则实数 a 的取值范围是 （ ） Ａ、 ,(2 ) Ｂ、 ,(1 ) Ｃ、 , ( 2) Ｄ、 , ( 1) 12、若函数 f x x x b 2( ) ln ( )   （ b R ）在区间 1[ ,2]2 上存在单调递增区间，则实数 b 的取值范围是 （ ） Ａ、 , 3( )2 Ｂ、 , 9( )4 Ｃ、 ,( 3) Ｄ、 ,( 2) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13、设全集U R ，函数 y x   1 1 的定义域为集合 A ，函数 y log x 2 ( 2) 的定义域 为集合 B ，则 UC A B ( )  。 14、在平面几何中，“若 ABC 的三边长分别为 , ,a b c ，内切圆半径为 r ，则三角形面积为 1 ( )2ABCS a b c r    ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体的四个面的面积分 别为 1 2 3 4, , ,S S S S ，内切球的半径为 r ，则四面体的体积为 ”. 15、函数 f x x x x m2 2( ) (sin cos ) 2cos    在 [0, ]2 上有零点，则实数 m 的取值范围 是 。 16、在 ABC 中， 30 , 2 5A BC   ， D 是 AB 边上的一点， 2CD  ， BCD 的面 积为 4 ，则 AC 的长为 。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12 分） 已知 nS 为数列{ }na 的前 n项和， na 0> ， n n na a S2 2 4 3   。 （1）求{ }na 的通项公式；（2）设 n n n b a a 1 1   ，求数列{ }nb 的前 n项和 nT 。 18、（本小题满分12 分） 某服装超市举办了一次有奖促销活动，顾客消费每超过 600 元（含 600 元），均可抽奖一次， 抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种。方案一：从装有 10 个形状、大小完全相同的 小球（其中红球 3 个，黑球 7 个）的抽奖盒中，一次性抽出 3 个小球，其中奖规则为：若摸 到 3 个红球，享受免单优惠；若摸到 2 个红球则打 6 折，若摸到 1 个红球则打 7 折，若没有 摸到红球，则不打折；方案二：从装有 10 个形状、大小完全相同的小球（其中红球 3 个， 黑球 7 个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续 3 次，每摸到 1 个红球，立减 200 元。 （1）若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优 惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满 1000 元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？ 19、（本小题满分12 分） 如图,三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,侧面 1 1BB C C 为菱形, 1AB B C . （1）证明: 1AC AB . （2）若 1AC AB , 1 60CBB   , AB BC ,求二面角 1 1 1A A B C  的余弦值. 20、（本小题满分12 分） 设 ,A B 为曲线 2 : 4 xC y  上两点， A 与 B 的横坐标之和为 4。 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设 M 为曲线 C 上一点，曲线 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM  BM，求直线 AB 的 方程。 21、（本小题满分12 分） 已知函数 ( ) ln af x x ax x    ，其中 a 为常数. （1）若 0 1a  ，求证: 2 ( ) 02 af  ； （2）当 ( )f x 存在三个不同零点时，求 a 的取值范围． 22、（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( )f x x a  ， x R 。 （1）当 1a  时，求 ( ) 1 1f x x   的解集； （2）若不等式 ( ) 3 0f x x  的解集包含 1x x   ，求 a 的取值范围。