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- 2021-04-13 发布
2016～2017学年第二学期高二年级阶段性测评
数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（ ）
A.类比推理，归纳推理，演绎推理都是合情推理
B.合情推理得到的结论一定是正确的
C.合情推理得到的结论不一定正确
D.归纳推理得到的结论一定是正确的
3.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知复数在复平面内对应的点为，复数的共轭复数为，那么等于（ ）
A.5 B. C.12 D.25
5.已知函数在处取得极值，那么（ ）
A. B. C. D.
6.利用反证法证明：“若，则”时，假设为（ ）
A.，都不为0 B.且，都不为0
C.且，不都为0 D.，不都为0
7.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.给出如下“三段论”的推理过程：
因为对数函数（且）是增函数，……大前提
而是对数函数，……小前提
所以是增函数，………………结论
则下列说法正确的是（ ）
A.推理形成错误 B.大前提错误 C.小前提错误 D.大前提和小前提都错误
9.（ ）
A. B. C. D.
10.已知复数是方程的一个根，则实数，的值分别是（ ）
A.12，0 B.24，26 C.12，26 D.6，8
11.已知函数，，，…，，，那么（ ）
A. B. C. D.
12.设函数，，若函数在处取得极小值，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.复数在复平面内对应的点位于第 象限．
14.已知，那么 ．
15.我们知道：在长方形中，如果设，，那么长方形的外接圆的半径满足：.类比上述结论回答：在长方体中，如果设，，，那么长方体的外接球的半径满足的关系式是 ．
16.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知，.
（1）求；
（2）若，求.
18.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
19.已知函数，.
（1）用分析法证明：；
（2）证明：.
20.（A）已知数列满足，其中，.
（1）求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
（2）由（1）写出数列的前项和，并用数学归纳法证明.
（B）已知数列的前项和为，且满足，.
（1）猜想的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）设，，求的最大值.
21.（A）设函数，.
（1）证明：函数在上为增函数；
（2）若方程有且只有两个不同的实数根，求实数的值.
（B）已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若存在唯一实数，使得成立，求实数的值.
2016～2017学年第二学期高二年级阶段性测评
数学（理科）测评参考答案及评分意见
一、选择题
1-5:ACBDC 6-10:DBBBC 11、12：AB
二、填空题
13.二 14.2 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）.
（2）由，得，
.
18.解：（1），
令，解得或.
列表如下：
x
0
0
极大值
极小值
所以函数在区间上的最大值为16，最小值是.
19.证明：（1）由，得，
要证，
只需证，
只需证，
只需证
因为成立，所以成立.
（2）因为，当且仅当时取等号，
又，
所以由（1）得.
20.（A）解（1）由题意，，，，
则，，，
猜想得：.
（2）由（1），数列是以4为首项，公比为2的等比数列，
则有，
证明：当时，成立，
假设当时，有，
则当时，，
综上有成立.
（B）（1），
由，得，
由，得，
猜想得：，
证明：当时，成立，
假设当时，有，
则当时，，.
综上，成立.
（2）由（1），时，，
当时，满足止式，
所以，
则，，
设，则有在上为减函数，在上为增函数，
因为，且，
所以当或时，有最大值.
21.（A）证明：（1）的定义域为，，
当时，由，，得，
所以，
则有函数在上为增函数.
（2）令，得或.
列表如下：
0
正
0
负
0
正
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
则当时，函数有极大值，
当时，函数有极小值，
又时，，时，，时，，
因为方程，即有且只有两个不同的实数根，
所以，解得（负根舍去）.
（B）（1）的定义域为，
，
令，得或，
列表如下：
1
正
0
负
0
正
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
则函数在，上为增函数，在上为减函数；
当时，，
所以当时，，又，
所以时，函数有最小值.
（2）对于，有，
则函数有两个不同的零点，
若存在唯一实数，使得成立，由（1）得，
即，
解得.