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- 2021-04-13 发布
南宁三中2018~2019学年度上学期高二段考
数学试题 2018.11.12
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，只交答题卡．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题, , 则命题的否定是( )
A．, B．,
C．, D．,
2.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.从中任取个不同的数，则取出的个数之和为的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.陶大爷常说“便宜没好货”，他这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 函数的单调减区间为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线C: ()的一条渐近线方程为,且半焦距，则双曲线C的方程为( )
A． B． C． D．
7. 手机给人们的生活带来便利的同时，也给青少年的成长带来不利的影响，有人沉迷于手机游戏无法自拔，
严重影响了自己的学业，某学校随机抽取个班，调查各班带手机来学校的人数，所得数据的茎叶图
如图所示．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方
图是（ ）
A B C D
8. 双曲线与椭圆()的离心率互为倒数，那么以为边长的
三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
9.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之
和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
10.如图，平面，，与两平面所成的角分别为和，过分别作两
平面交线的垂线，垂足为，则＝（ ）
A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.2∶1
11.已知是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线交于
两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记
,,则（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（每题5分，共20分）
13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体
职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号为第1组，6～10号为第2组，…，196～
200号为第40组)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码是．若用分层抽样方法，则
40岁以下年龄段应抽取人,则 ．
14. 椭圆（）的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是 ，若
成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
15. 已知关于的函数，如果函数在处取极值，那么
16. 已知函数，函数，若对任意，总存在，
使得成立，则的取值范围是：
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知数列的前项和
(1)求的通项公式;
(2)设，的前项和为，求.
18.(12分）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，,求．
19. (12分)随着南宁三中集团化发展，南宁三中青三校区2018年被清华北大录取23人，广西领先，一本
率连年攀升，南宁三中青山校区2014年至2018年一本率如下表：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
时间代号
1
2
3
4
5
一本率
0.7152
0.7605
0.7760
0.8517
0.9015
(1)求关于的回归方程 (精确到0.0001);
(2)用所求回归方程预测南宁三中青山校区2019年高考一本录取率.(精确到0.0001).
附：回归方程中
参考数据：，
20.(12分）如图，在四棱锥中，⊥底面，，，，，点为棱的中点．
(1)（理科生做）证明：；
（文科生做）证明：；
(2)（理科生做）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
（文科生做）求点到平面的距离.
21.(12分）已知椭圆：，离心率为，并过点.
(1)求椭圆方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭
圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
22.(12分）已知函数.
(1)当为何值时，轴为曲线 的切线；
(2)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点
的个数.
2017级南宁三中高二(上)第二次月考
数学试题答案
14. 选择题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
B
B
D
A
C
A
D
C
A
15. 填空题答案
13. 57； 14.； 15.； 16.；
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：(1)，
当，当
综上得：……………………6分
(2)
…12分
18.解：(1)由正弦定理，
得,
在三角形中
得，………6分
(2),，
， ………12分
19. 解：(1)
………8分
(2)2019年对应，
把代入 得
预测南宁三中青山校区2019年高考一本率为………12分
20.(1理)证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得B(1，0，0)，
C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
由E为棱PC的中点，
得E(1，1，1)．
向量＝(0，1，1)，＝ (2，0，0)，故·＝0.
所以BE⊥DC.………5分
(1文)证明 取中点,联接
是中点，且
.四边形是平行四边形
………5分
(2理)解 向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0)．
由点F在棱PC上，设 ＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由 BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．
取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则
cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角F－AB－P是锐角，所以其余弦值为.
(2文)
在中， ,
,
,在中，,
将数据代入得
21.解：(1)由已知得，解得，椭圆方程为
（2）设，由得，
，
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，
，，
，
整理得：，
解得：，且满足
当时，，直线过定点与已知矛盾；
当时，，直线过定点，
综上可知，直线过定点，定点坐标为
22.解（1）设曲线与轴相切于点，
则，，即，
解得.
因此，当时，轴是曲线的切线. ……5分
（2）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，
则，,故=1是的零点；
若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，
而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；
当0时，在（0，1）无零点.
(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，
故当=时，取的最小值，最小值为=.
若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
若＜0，即，由于，，
所以当时，在（0,1）有两个零点；
当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；
当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
……12分