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- 2021-04-13 发布
考点 60 不等式的证明、柯西不等式
1．已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）设函数 的最小值为 c，实数 a，b 满足 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
2．已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 的解集为 ， ，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
3．已知函数 .
(1)求不等式 的解集 ；
(2)设 ，证明: .
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1）当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， ，
所以 ，综合可知，不等式 的解集为 .
4．设函数 ，（实数 ）
（1）当 ，求不等式 的解集；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
（1）原不等式等价于 ，
当 时，可得 ，得 ；
当 时，可得 ，得 不成立；
当 时，可得 ，得 ；
综上所述，原不等式的解集为
5． 已知函数 ，关于 的不等式 的解集记为 .
（1）求 ；
（2）已知 ， ，求证： .
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由 ，得 ，
即 或 或
解得 或 ，
所以，集合 .
（2）证明：∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ .
6． 已知 ，且 ，证明：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）见解析（2）见解析
7． 关于 的不等式 的解集为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求证： .
【答案】（1）1（2）见解析
【解析】
8．已知函数 ， .
（1）解不等式 ；
（2）设 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由题意得原不等式为 ，等价于
或 或 ，
解得 或 或 ，
综上可得 ．
∴原不等式的解集为 ．
（2）
，
当且仅当 时等号成立．
9．已知实数 x, y 满足 .
（1）解关于 x 的不等式 ；
（2）若 ，证明：
【答案】（1） ；（2）9
（2） 且 ，
.
当且仅当 时，取“=”.
10．已知 ，且 .
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】(1) ;(2)见解析.
当 时， ，解得 ，故 ；
综上， .
（2）
，
，
.
11．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若 对任意 恒成立，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
因为 对任意 恒成立，
所以 ，
又 ，
所以 ．
12． 已知 ，不等式 的解集是 .
（1）求集合 ；
（2）设 ，证明： .
【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ）见解析.
13． 已知函数 .
（1）求不等式 2f x 的解集；
（2）记 f x 的最大值为 k ，证明：对任意的正数 a ， b ， c ，当 时，有
成立.
【答案】(1) 1 ,2
;(2)见解析.
14． 已知实数 , ,a b c 满足 ，证明：
（1） ；
（2） .
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】（1）由 ，得 ，
所以 ，
即 .
因为 ，当且仅当b c 时，取等号，
所以 ，
所以 ，
15． 已知 ， ．
（1）求 的最小值
（2）证明： ．
【答案】（1）3； （2）证明见解析．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ,即 ，
当且仅当 时等号成立，此时 取得最小值 3．
（2）
．
16．已知函数 的图象的对称轴为 1x .
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 f x 的最小值为 M ，正数 a ， b 满足 a b M ，求证： 1 2 9
2 4a b
.
【答案】(1) (2)见解析
17．已知函数 的定义域为 R ；
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）设实数t 为 m 的最大值，若实数 a ， b ， c 满足 ，求 的最
小值.
【答案】（1） 3m ；（2） 3
5
18． 已知函数 的最小值为 m ．
（1）求 m 的值；
（2）若 0a ， 0b ， a b m ，求证 1 4 9
4a b
．
【答案】（1） 4m （2）见解析
【解析】（1） ，取等号时， ，即 3 1x ，故
m=4．
（2）由（1）a+b=4，所以 ．
因为 ，取等号时，
4
a b
b a
，因为 a+b=4，所以 a= 4
3
， 8
3b ．故 1 4 9
4a b
．
19． （1）已知函数 .若 0,3x 时， 4f x ，求实数 a 的取值范围；
（2）已知 , ,a b c R ，且 1a b c ，求证： .
【答案】(1）[－7，7]（2）见解析
【解析】、（1）当 0,3x 时， 4f x 即 ，由此 在 0,3 上恒成立，
故得 7a 且 2 7a x ．当 0,3x 时， 2 7x 的最小值为 7 ，所以 a 的取值范围是 7,7 ．
（ 2 ） 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，故 .
20． 已知函数 f(x)=x+2,g(x)=2-2x,
（Ⅰ）若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
【答案】(1) ;(2) .
21．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最小值为 ，若 ， ，均为正实数，且 ，求 的最小值.
【答案】(1) （2）
22．选修 4-5：不等式选讲
（1）已知 ， 都是正实数，且 ，求 的最小值；
（2） ， ，求 .
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】（1）由柯西不等式得 ，当且仅当 时取等号；
∴ ，∴ 的最小值为 .
（2） .
23． 已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
24． 已知函数 的最小值为 （ ， ，为正数）.
（1）求 的最小值；
（2）求证： .
【答案】（1）36；（2）见解析.
【解析】（1）∵ （当且仅当 时取等号），
由题意，得 .
根据柯西不等式，可知 ，
∴ .
∴ 的最小值为 36.
（2）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ .
25．已知 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，则 的最大值为________．
【答案】