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- 2021-04-13 发布
遵义四中2018届第三次月考试题
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A． B． C． D．
2.设集合为，，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D． 2或
4.一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（ ）
A．20 B．18 C.16 D．12
5.等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（ ）
A．-18 B．9 C.18 D．36
6.已知，则（ ）
A．0 B．1 C.32 D．-1
7.下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（ ）
A．11 B．10 C.7 D．8
8.已知的面积为12，如果，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C.6 D．7
9.已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（ ）
A． B． C. D．1
10.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
12.已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则
（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. ．
14.在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则最大值为 ．
15.若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是 ．
16.在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，， ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）如果，求面积的最大值.
18. 某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：
年入流量
发
1
2
3
电机最多可运行台数
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
19. 如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2 所示）
（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.
20. 已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于两点.
（1）求的方程；
（2）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标，若不存在，说明理由.
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标中，圆，.
（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；
（2）求出圆的公共弦的参数方程.
23.选修4-5：不等式选讲
（1）比较与的大小；
（2）已知，且，求证：
试卷答案
一、选择题
1-5:ABACC 6-10:ADCBB 11、12：DD
二、填空题
13.1 14. 15. 16.
三、解答题
17. 方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)
方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。
方法三：利用海伦公司直接将面积表示为a的函数
方法三为最简捷办法，凡只涉及边的面积问题可优先想到海伦公式。
18.（1）依题意，，
由二项分布可知，，
，，
，
所以的布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
.
（2）记水电站的总利润为（单位：万元），
①假如安装1台发电机，由于水库年入流总量大于40，故一台发是机运行的概率为1，对应的年利润，；
②若安装2台发电机，
当时，只一台发电机运行，此时，，
当时，2台发电机运行，此时，，
③若安装3台发电机，
当时，1台发电机运行，此时，
当时，2台发电机运行，此时，
当时，3台发电机运行，此时，，
综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机.
19.（1）在未折起的中，设（），则.
由，知，为等腰直角三角形，所以.
由折起前知，折起后，，，且
所以平面，又，所以，于是
当且仅当，即时，等号成立，故当，即时，三棱锥的体积最大.
（2）由（1）知，当三棱锥的体积最大时，，.
于是可得，，，，，，且.
设，则，因为等价于，即，故，
所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，.
设平面的一个法向量为，由，及，
得可取.
设与平面所成角的大小为，则由，，可得
，即.
故与平面所成角的大小为.
20.（1）椭圆的方程为.
（1）由直线过椭圆右焦点，
当直线不与轴重合时，可设
代入椭圆方程，并整理得
设，，则，
设，则
为定值，
则，解得
故存在定点，使得为定值.
21.（1）∵，故其定义域为，
∴，令，得，令，得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）∵，，∴，令
又，令解得.
当在内变化时，，变化如下表
+
0
-
由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以，
（3）由（2）知，∴（）
∴
∴
即
22.（1）圆的极坐标方程为，
圆的极坐标方程为，
解得，，
故圆与圆交点的坐标为，
注：极坐标系下点的表示不唯一.
（2）（解法一）
由得圆与圆交点的直角坐标分别为，
故圆与圆的公共弦的参数方程为，
（或参数方程写成，）
（解法二）
将代入，得
从而
于是圆与圆的公共弦的参数方程为，
23. （1）作差比较，或移项视为二次函数判断判别式，或用均值不等式
（2）中的1换为后利用均值不等式立证.