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- 2021-04-13 发布
高二年级2018-2019学年（下）3月月考试卷
数学
一、选择题（单选题，每题4分，共40分）
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数求导公式对选项进行一一验证.
【详解】因为，故A错；因为，故B正确；
因为，故C错；因为，故D错．
【点睛】本题考查导数公式的简单运用,考查计算能力，属于基础题.
2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
详解：的共轭复数为
对应点为，在第四象限，故选D.
点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.
3.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求导分析导函数大于0的区间即可.
【详解】易得,当时解得.故函数的单调递增区间是.
故选：D
【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.
4.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直线经过，两点，可以写出直线的方程，根据导数的几何意义进行求解.
【详解】解：直线经过，两点，
.
直线与曲线切于点，
可得曲线在处的导数为：，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
5.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,-]∪[,+∞)
B. [-]
C (-∞,-)∪(,+∞)
D. (-)
【答案】B
【解析】
因为函数在R上单调，所以 恒成立，因为导函数为开口向下的二次函数，故应恒成立，因此，解得，故选B.
点睛：函数在给定区间上单调，转化为函数的导函数在区间上恒大于等于0，或者恒小于等于0，再转化为分类讨论或分离参数法求其取值范围.
6.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
函数的定义域为，排除选项A；
当时，，且 ，故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，排除选项C；
当时，函数，排除选项D，选项B正确．选B．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
7.已知是虚数单位，，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的运算性质，分别判断“” “”与“” “”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．
【详解】解：当“”时，“”成立，
故“”是“”的充分条件；
当“”时，“”或“”，
故“”是“”的不必要条件；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件；
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．
8.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【详解】的定义域是（0，+∞），
，
若函数有两个不同的极值点，
则在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故，解得：，
故选D．
【点睛】本题考查了函数极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．
9.做一个圆柱形锅炉，容积为，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设锅炉的高为，底面直径为，根据圆柱的表面积计算公式列出函数关系式，结合导数，然后求其最值.
【详解】解：设锅炉的高为，底面直径为，锅炉的高与底面直径的比是.
，
，.
设造价为，则.
则，
令，解得，可得此时取得最小值.
故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为.
故选：A.
【点睛】本题考查导数的运用求最值，同时考查圆柱的表面积和体积公式，属于中档题.
10.已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
因为方程①至多有一个零点，所以方程②至少有两个零点，所以，利用导数分析函数的图像特点可知①有一个零点且②有两个零点，从而可得实数的取值范围．
【详解】方程①至多有一个零点，所以方程至少有两个零点．
令．
若，则为上的增函数，故至多有一个零点，舍去；
若，则，
令，则，
为上的减函数，故，
若，则，为上的减函数，故至多有一个零点，舍去；
若，则在有解,
当时，；当时，，
故在上单调递增，在单调递减，所以在上只能有两个零点，故，解．
又方程有一个零点，故，故，
综上，，故选D．
【点睛】已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据各段函数图像的特点判断零点的个数，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．如果导数的零点不易求得，则可设出该零点，通过零点满足的方程去化简，从而得到参数的取值范围．
二、填空题（每题4分，共24分）
11.函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，
则f（1）+f′（1）=______．
【答案】4
【解析】
∵切线方程是则直线的斜率 ，
根据导数的几何意义得：
故答案为4
12.已知，则的值为___.
【答案】1
【解析】
因为 ，所以
点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
13.复数，是虚数单位，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
通过计算出、、、、的值得出规律：，进而计算得出结论.
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
.
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的基本运算性质，属于基础题.
14.过原点作曲线的切线，则切点为___________．
【答案】(e,1)
【解析】
【分析】
先求导数，代入切点可得切线斜率，结合切线所过点可得切点坐标.
【详解】设切点，，所以切线方程为，
即.
因为切线经过原点，所以，即，代入可得，故切点为.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解切点时，一般是先设出切点，结合切点处的导数值为切线的斜率建立等量关系.
15.已知函数在处取得极值，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
求导函数，利用函数在处取得极值，可得，求出的值.
【详解】解：根据题意求导，得，
因为在处取得极值，
所以，
即，
所以或.
经检验，符合题意.
故答案为：.
【点睛】本题考查导数的极值运算，属于基础题.
16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________．
【答案】2018
【解析】
分析：求出二阶导数，再求出的拐点，即对称点，利用对称性可求值．
详解：，，由得，，
即的图象关于点对称，∴，
∴
．
故答案为2018．
点睛：本题考查导数的计算，考查新定义，解题关键是正确理解新概念，转化新定义．通过求出的拐点，得出对称中心，从而利用配对法求得函数值的和．
三、解答题（共36分，要求写出必要的解答过程〕
17.已知函数（为常数）在处的切线斜率为．
求实数的值并求此切线方程；
求在区间上的最大值．
【答案】，；.
【解析】
【分析】
求出函数的导数，根据导数的几何意义求出实数的值，列出切线方程；
根据的导函数式子，讨论函数在区间的增减性，进而算出最大值.
【详解】解：，
.
函数在处的切线斜率为，
，即，
解得.
由,
切线方程为.
由得，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
又，，，
在区间上的最大值为.
【点睛】本题考查导数的性质和应用，属于中档题.
18.如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，且，是的中点．
求证：直线平面；
求直线与平面的夹角的正弦值．
【答案】证明见解析；.
【解析】
【分析】
证明，结合，即可证明直线平面；
以为原点，分别以,,为，，轴建立空间直角坐标系，求出相关向量，求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，利用向量的数量积求解即可.
详解】解：底面，.
又底面是正方形，.
，平面，平面，
平面.
以为原点，分别以,,为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则,,,,
,,.
设平面的法向量为，
由得，令，
则.
设直线与平面所成角为，
则，
，即直线与平面的夹角的正弦值为.
【点睛】本题考查了直线与平面所成角的求法，向量的数量积的运用，直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题.
19.已知和是椭圆的两个焦点，且点
在椭圆上．
求椭圆的方程；
直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴和轴分别交于点，，当面积取最小值时，求此时直线的方程．
【答案】；或.
【解析】
【分析】
由和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，求出，，即可得出椭圆方程；
联立直线和椭圆的方程，可得，利用跟的判别式，基本不等式求出结果.
【详解】解：和是椭圆的两个焦点，且点在椭圆上，
，，故，
由可得.
椭圆的方程为：.
由，可得.
直线与椭圆有且仅有一个公共点，可知，
整理得.
由条件可得，，，
，
.
，，
当且仅当，即，时等号成立，的最小值为，
，
，又，解得.
故此时直线的方程为或.
【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆简单性质，属于中档题.
20.已知函数，．
求函数的单调区间；
当时，若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
.
【解析】
【分析】
先求出的定义域，在求导，根据的范围得到函数的单调区间；
根据函数的单调性求出函数的最值，再由在区间上恒成立，，得出的取值范围.
【详解】解：的定义域为，
.
当时，，令，解得，则函数在上单调递增，
令，解得，则函数在上单调递减.
当时，令，解得，则函数在上单调递减，
令，解得或，则函数在，上单调递增.
当时，恒成立，则函数的单调递增区间为.
当时，，令，解得，则函数在上单调递减，
令，解得或，则函数在，上单调递增.
由得当时，函数在区间上单调递增，
则，故不满足条件；
当时，由可知，函数在上单调递增，在上单调递减.
，满足条件；
当时，由可知，则函数在，上单调递增，在
上单调递减，
当时，函数有极小值，极小值为.
若极小值为最小值，在区间上恒成立，则，
解得，
若，
则，即.
因为，
所以的取值范围为.
【点睛】本题考查导数在求函数单调性和单调区间的应用，属于中档题.