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- 2021-04-13 发布
吉林省吉化一中2017-2018学年高二上学期期末考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6
【答案】D
【解析】试题分析：由题意，得抽样比为，所以高级职称抽取的人数为，中级职称抽取的人数为，初级职称抽取的人数为，其余人员抽取的人数为，所以各层中依次抽取的人数分别是8人，16人，10人，6人，故选D．
考点：分层抽样．
【方法点睛】分层抽样满足“”，即“或”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个．
视频
2. 设有一回归直线方程为，则变量增加一个单位时（ ）
A. 平均增加1.5个单位 B. 平均增加2个单位
C. 平均减少1.5个单位 D. 平均减少2个单位
【答案】C
【解析】因为，所以变量值平均减少1.5个单位长度，故选C.
3. 从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】第一步先选男女运动员各选2人有种方法；第二步选出4人进行乒乓球男女混合双打共有2种，所以组队种数有种.
故选C
4. 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（ ）
A. 92，2 B. 92，2.8 C. 93，2 D. 93，2.8
【答案】B
【解析】试题分析：，故选B.
考点：1、平均数；2、方差．
视频
5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 30 B. 20 C. 15 D. 10
【答案】C
【解析】试题分析：展开式中通项，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴展开式中x2项的系数为15，在的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．
考点：二项式系数的性质．
6. 随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】B
【解析】试题分析：由题意可得，解得，故选B.
考点：服从二项分布的随机变量的数学期望与方差.
7. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了 13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A. 2或4 B. 1或4 C. 2或3 D. 1或3
【答案】A
【解析】由题意， ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人，综上所述，收到4份纪念品的同学人数为2或4人
故选A．
8. 将长为的木棍随机分成两段，则两段长都大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设“长为9cm的木棍”对应区间[0，9]，“两段长都大于2cm”为事件 A，则满足A的区间为[2，7]，根据几何概率的计算公式可得，P（A）=
故选B
9. 甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（ ）
A. 0.9 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.5
【答案】D
【解析】设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，事件“恰有一人击中敌机”的概率为P()＝P(A)·(1－P(B))＋(1－P(A))·P(B)＝0.5. 选D.
10. 设是一个离散型随机变量，其分布列为：
则等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】由分布列的性质得 所以等于
故选C
11. 在的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是（ ）
A. 462 B. 330 C. 682 D. 792
【答案】A
【解析】的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于，则中间项的二项式系数是.
故选A
12. 某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设为回答正确的题数，则随机变量的数学期望（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
P（ξ=1）=
P（ξ=2）=
P（ξ=3）=
∴E（ξ）=
故选B
点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为__________．
【答案】10
【解析】试题分析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，所以分成30组，因为第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，所以第n组抽到的号码为：，所以落在区间为，因为n为正整数，所以，所以有人
考点：系统抽样
14. 关于二项式有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项是第1006项；④当时，除以2012的余数是2011.其中正确命题的序号是__________．
【答案】①④
【解析】①令x=1，可得该二项展开中非常数项的系数和=（1-1）2011-（-1）2011=1，①正确；
②令通项公式则第六项为，故②错误
③，由此可看出系数最大项为第1007项故③错误；
④当=
，故除以2012的余数是2011，④正确.
故答案为①④
15. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________．
【答案】
【解析】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为2×2=4 ， 所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12 ，因为三个人去的景点不同的可能性为3×2×1=6，所以P（A|B）=.
故答案为
16. 假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用(万元)统计数据如下：
若有数据知对呈线性相关关系.其线形回归方程为，请估计使用10年时的维修费用是__________万元.
【答案】12.38
【解析】∵ ＝4， ＝5，∴样本中心点的坐标是（4，5）,∴5=4×1.23+a,∴a=0.08，
∴线性回归方程是y=1.23x+0.08，
当x=10时，y=1.23×10+0.08=12.38
故答案为12.38
点睛：本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是线性回归直线过样本中心点.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设关于的一元二次方程.
（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析:(1)所有基本事件为从，，，四个数中任取的一个数，是从，，三个数中任取的一个数;所求事件为方程有实根，即,分别列举出的组合,根据古典概型计算概率;(2)所有基本事件为从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，所求事件为方程有实根, 即,分别列出不等式画出区域,根据几何概型求出概率.
试题解析:
若方程有实根，则，即．
（1）设“方程有实根”为事件，
∵从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，
∴记为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有：，，，，，，，，，，，共12种且每种均等可能被抽到，其中满足条件的有
，，，，，，，，共9种，
∴．
答：方程有实根的概率为．
（2）设“方程有实根”为事件，
∵从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，
∴记为所取两数的一个组合，则，，
∴点所在的区域为如图所示的矩形，
又条件可化为，即，
∴满足条件的点所在的区域为如图所示的阴影部分区域
∴．
答：方程有实根的概率是．
18. 已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14:3，求展开式中不含的项.
【答案】5
【解析】本试题主要考查了二项式定理的运用。运用二项式系数的概念得到
所以求解得到n的值。然后利用通项公式展开得到常数项。
解：由题意知，
，
化简，得．
解得n=-5（舍），或n=10．
设该展开式中第r+1项中不含x，则，
依题意，有．
所以，展开式中第三项为不含x的项，且．
19. （1）计算:；（2）解不等式:
【答案】(1)466；(2).
【解析】试题分析：（1）根据组合数的性质，有3n≥38-n且21+n≥3n；解可得n的取值范围，结合n是整数，可得n的值为10，代入组合数公式中计算可得答案；
（2）首先运用排列公式可将原不等式化简整理变形为，解可得x的范围，再由排列的性质可得，且，取交集可得答案．
试题解析：
（1）由题意,解得
又由可得n=10
（2）原不等式即 ，
也就是，
化简得，
解得或，又因为，且，
所以原不等式的解集为.
20. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
（1）求白球的个数；
（2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的分布列.
【答案】(1)5；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）设黑球的个数为x，则白球的个数为10-x，记两个都是黑球得的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；
（2）X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
可求得分布列及数学期望.
试题解析：
(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－＝，得到x＝5.
(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，其中P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
于是可得其分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望
E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.
21. 某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.
（1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率；
（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.
【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，由于他们的选择是相互独立，故利用乘法公式可求；
（
2）先求甲、乙两人选择同一个社区医院的事件的概率，再求甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率；
（3）确定随机变量ξ可能取的值，计算相应的概率，即可得到ξ的分布列和数学期望及方差.
试题解析：
(1)设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，那么
P(A)＝×＝，
所以甲、乙两人都选择A社区医院的概率为.
(2)设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件B，那么
P(B)＝C××＝，
所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率
P()＝1－P(B)＝.
依题意ξ～B(4，)，
所以P(ξ＝k)＝C×()k×()4－k＝C×.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以ξ的数学期望E(ξ)＝4×＝.
方差D(ξ)＝4××(1-)＝
22. 为了比较注射两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，毎组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物.
（1）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（2）下表1和表2分别是注射药物和后的试验结果.（疱疹面积单位：)
表1:注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
表2:注射药物后皮肤疱疹面积的频数分布表
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
（ⅱ）完成下面列联表，并回答能否有的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”.
表3：
附:
【答案】(1)；(2)(i)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）利用组合数找出所有事件的个数n，基本事件的个数m，代入古典概率计算公式p=；（2）（ⅰ）由频数分布表中的频数求出每组的，画出频率分布直方图，可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数，（ⅱ）完成2×2列联表，代入计算随机变量值后与临界点比较，判断能否有的把握认为“注射药物后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积有差异”...................
试题解析：
（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数.
（ii）表3：
由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。
点睛：本题考查了利用组合数求古典概型的概率，由频数分布表画频率分布直方图及2×2列联表，考查独立性检验的计算公式，与临界值比较以判断两个变量相关的把握度，要注意频率分布直方图的纵轴是.