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- 2021-04-13 发布
阆中中学校高 2018 级 2020 年秋第三学月教学质量检测
数学试题（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．
3
2021sin
A.
2
1 B.
2
1 C.
2
3 D.
2
3
2. 设集合
2
12,322 xxBxxyxA ，则 BA
A. )1,3[ B. )1,3[ C. )1,1( D. ]1,1(
3. 已知公差不为 0 的等差数列 na 中， 62 a ， 913 ,aaa 是 的等比中项，则 na 的前 5
项之和 5S
A.30 B.45 C.63 D.84
4. 函数 2ln)( 2 xxxf 的图象在点 ))1(,1( f 处的切线方程为
A. 43 xy B. 32 xy C. 12 xy D. 23 xy
5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山
西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名。
下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客
（身高忽略不计）从地面 D 点看楼顶点 A 的
仰角为 30°，沿直线前进 79 米到达 E 点，
此时看点 C 的仰角为 45°，若 BC=2AC，
则楼高 AB 约为
A.65 米 B.74 米
C.83 米 D.92 米
6. “ ”是“ baba 2.02.0 loglog 的
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
7. 已知在四边形 ABCD 中， 02,1, CDABCDADAB ，E 是 BC 的中点，则
AEAB
A.
2
3 B.2 C.3 D.4
8. 函数 2
2
2
ln)( x
xxxf 的图象大致为
9. 若 aa 2sin,0)4
5sin(2cos),,2( 则
A.
2
1 B.0 C.
2
1 D.
2
2
10.若 a,b 为正实数，且 12
1
2
1 baba
，则 a+b 的最小值为
A.
3
2 B.
3
4 C. 2 D.4
11.已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数， ,0)2()(, xfxfRx 恒有 且当 ]1,0(x
时， 12)( xxf ，则 )2021(...)2()1()0( ffff
A. 1 B.2 C.3 D.4
12.设函数 )(xf 是函数 ))(( Rxxf 的导函数，若对任意的 Rx ，恒有 0)(2)( xfxfx ，
则函数 2
2)()( xxfxg 的零点个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 若变量 yx, 满足约束条件
022
02
022
yx
yx
yx
，则 yxz 3 的最大值为_______
14. 已知向量 bbabaa 则,1,13),3,1( =__________
15. 已知数列 na 的前 n 项和为 22, nnn aSS 且 ，则 na =_____
16. 若 函 数 )(xf 在 定 义 域 D 内 满 足 ， 对 任 意 的 ,,, 321321 xxxDxxx 且 有
)()()( 321 xfxfxf ，则称函数 )(xf 为“类单调递增函数”。下列函数是“类单
调递增函数”的有___________（填写所有满足题意的函数序号）。
① xxf )( ② 2)( xxf ③ xxf ln)( ④ )20(sin)( xxxf
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17--21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17.（12 分）已知在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,且
CbaABc cos)2()cos2(cos
（1）求
b
a 的值；（2）若 ABC,2,4
3cos 求cC 的面积。
18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD ,
PAABCDBCAB ,2, 平面 ABCD，E
为 PD 的中点。
（1）证明：AE//平面 PBC
（2）若 PA=CD=2BC，求二面角 A-PD-C 的余弦值。
19.（12 分）2020 年全球爆发新冠肺炎疫情，其最大特点是人传人，传播快，病亡率高。
通过佩戴口罩可以有效地降低病毒传染率，在某高风险地区，公共场合未佩戴口罩
被感染的概率是
2
1 ，戴口罩被感染的概率是
10
1 ，现有在公共场合活动的甲、乙、丙、
丁、戊 5 个人，每个人是否被感染相互独立。
（1）若他们都未戴口罩，求其中恰有 3 人被感染的概率
（2）若他们中有 3 人戴口罩，设 5 人中被感染的人数为 X，求：P（X=2）。
20.（12 分）已知椭圆 )0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
xC 的长轴长为 4，上顶点为 A，左、右焦点分
别为 21,FF ，且 O6021 ， AFF 为坐标原点。
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设点 M、N 为椭圆 C 上的两个动点，若 0OM ON ，问：点 O 到直线 MN 的距
离 d 是否为定值？若是，求出 d 的值；若不是，请说明理由。
21.（12 分）已知函数 )(ln2)( Raaxxxf
（1）讨论 )(xf 的单调性；
（2）若函数 2)()( xxfxg 有两个极值点 0)(),(, 212121 mxxgxxxx 且 恒
成立，求实数 m 的取值范围。
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第
一题计分
22.（10 分）已知在极坐标系中，曲线 1C 的极坐标方程为 232)sincos3( 。
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲
线 2C 的参数方程为 tty
tx (sin32
)cos1(3
为参数）。
（1）求曲线 1C 的直角坐标方程和 2C 的普通方程；
（2）设曲线 1C 与曲线 2C 相交于 A，B 两点，求 AB 的值。
23.（10 分）已知函数 212)( xxxf 。
（1）求不等式 4)( xf 的解集
（2）若 )(xf 的最小值为 m ,且实数 ba, 满足 mba 243 ，求 22 )1()2( ba
的最小值。
阆中中学校高 2018 级 2020 年秋第三学月教学质量检测理科数学答案
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.C 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C
12.A 解析：设 2)()( 2 xfxxF ，则 )](2)([)(2)()( 2 xfxfxxxxfxfxxF 。因为
对于任意的 Rx ，恒有 0)(2)( xfxfx ，所以当 0x 时， 0)( xF ，函数 )(xFy 在
),0( 单调递减，当 0x 时 0)( xF ，所以函数 )(xFy 在 )0,( 上单调递增，所以
02)0()( max FxF ，所以函数 )(xFy 没有零点，故 22
)(2)()( x
xF
xxfxg 也没
有零点。
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.6 14. 5 15. n2
16.①④ 解析：对于①，显然 32121 xxxxx ，即 )()()( 321 xfxfxf ，
是“类单调递增函数”；对于②，取 3,2 321 xxx ，此时 82
2
2
1 xx ， 92
3 x ，即
)()()( 321 xfxfxf ，不是“类单调递增函数”；对于③，取 1321 xxx ，此时
0ln,0lnln 321 xxx ，即 )()()( 321 xfxfxf ，不是“类单调递增函数”；对于④，
)2,0(,, 321
xxx ，若
221
xx ，则 122121 cossincossinsinsin xxxxxx
321 sin)sin( xxx ，若 212 xx ，则
220 12
xx ， 21 sinsin xx
322222 sin1)4sin(2sincossin)2sin( xxxxxx ，即 )()( 21 xfxf
)( 3xf ，是“类单调递增函数”。所以是“类单调递增函数”的有①④。
三、解答题（共 70 分）
19.【命题意图】本题考查相互独立事件的概率计算公式，概率的实际应用。
【解析】（1）若他们都未戴口罩，则恰有 3 人被感染的概率是
16
5)2
11()2
1( 233
5 CP ……（5 分）
（2）当被感染的两人都未戴口罩时，
4000
729)10
9()2
1( 32
1 P ……（7 分）
当被感染的两人中，只有一人戴口罩时，
2000
243
2
1
2
1)10
9(10
1 1
2
21
32 CCP （9 分）
当被感染的两人都戴口罩时，
4000
27)2
1(10
9)10
1( 222
33 CP ……（11 分）
所以
2000
621
4000
27
2000
243
4000
729)2( 321 pppxP ……（12 分）