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- 2021-04-13 发布
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2019-2020 年高二上学期期末考试联考试卷
考试科目：数学 满分：150 考试时间：120 分钟
命题者：李德勇 审核者：张开春 王建清 朱坤城 许建全
一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置.
1．复数
i
iz −= 1
的共轭复数是（ ）
A． i2
1
2
1 +− B． i2
1
2
1 −− C． i2
1
2
1 + D． i2
1
2
1 −
2.抛物线 28yx=− 的焦点坐标是（ ）
A. ( )0, 2− B. ( )2,0− C. 10, 32
−
D. 1 ,032
−
3.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱四百八十，乙持钱三百,丙持钱二
百二十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有
甲带了 480 钱，乙带了 300 钱，丙带了 220 钱，三人一起出关，共需要交关税 100 钱，依照
钱的多少按比例出钱”，则乙应出（ ）
A. 50 B. 32 C. 31 D.30
4．“ 9k ”是“曲线 193
22
=−+− k
y
k
x 为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知 axxxf −+= )12ln()( ，且 1)2(' −=f ，则 =a （ ）
A．
5
7 B．
5
6 C．
5
3− D．
5
4−
6．已知圆 22: ( 3) 1C x y− + = 与双曲线
22
221( 0, 0)xyE a bab− = : 的渐近线相切，且圆心C
恰好是双曲线 E 的一个焦点，则双曲线 E 的标准方程是( )
A． B． 12
2
2
=− yx C． 1129
22
=− yx D． 12
2
2 =− yx
7．函数 1() ln 1fx xx= −−
的图象大致是( )
A． B． C． D．
8.设 F 为抛物线 pxy 22 = 的焦点，斜率为 )0( kk 的直线过 F 交抛物线于 A、B 两点，若
||4|| FBFA = ，则直线 AB 的斜率为（ ）
A.
2
1 B.
4
3 C. 1 D.
3
4
9.已知 xaexxf −= 2)( 在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A. ]2,( e− B. )2,( e− C. ]2,0( e
D. )2,0( e
10．已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆x2
m＋y2＝1(m>1)和双曲线x2
n－y2＝1(n>0)，P 是它们的一个交
点，则△PF1F2 的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 m，n 的变化而变化
11．利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为 O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以 O 为圆心制作一个小的圆；
(2)在小的圆内制作一内接正方形 ABCD；
(3)以正方形 ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；
(4)将正方形 ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧
面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.问：要使所制作的正四棱锥体积最
大，则小圆的半径为（ ）
A． 42
5
B． 62
5
C． 82
5
D． 22
12.已知 ABC△ 为等腰直角三角形，其顶点为 ,,A B C ，若圆锥曲线 E 以 ,AB为焦点，并经过顶
点C ，该圆锥曲线 的离心率不．可以是（ ）
A. 21− B. 2
2
C. 2 D. 21+
13
2
2
=− yx
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置.
13．命题 :p “ 013, 2 +− xxRx 使 ”,则它的否定 p 为:____________________________.
14．袋子中有四个小球，分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，有放回地从中任取一个小球，
取到“联”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生 1 到 4 之间
取整数值的随机数，且用 1,2,3,4 表示取出小球上分别写有“四”“校”“联”“考”四个字，以
每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 23 34
据此估计，直到第二次就停止的概率为____________.
15.已知抛物线 2 4C y x=： 的焦点为 F ，准线为l ，过抛物线C 上的点 A 作准线 的垂线，垂足
为 M ，若 AMF 与 AOF （其中O 为坐标原点）的面积之比为 3：1，则点 的坐标为
_____________________．
16.已知函数 ( ) ( ) ( )Raaxxxxxf −+= 22ln .若存在 3,1x ，使得 ( ) ( )xxfxf ' 成立，则实
数 a 的取值范围是_______________________.
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 10 分)已知曲线 C：
3
233
1)( 23 +−−= xxxxf
（1）求 )(xf 在点 ))1(,1( fP 处的切线方程；
（2）求 )(xf 在 R 上的极值.
18．(本小题满分 12 分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
AC 与 BD 相交于点 E，PA⊥平面 ABCD，PA＝2，AD＝1，AB＝ 3，
BC＝3.
(1)求证：BD⊥平面 PAC；
(2)求二面角 APCD 的余弦值．
19.(本小题满分 12 分)某“双一流 类”大学就业部从该校 2018 年已就业的大学本科毕业生中
随机抽取了 100 人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入
在人民币1.65万元到 2.35万元之间，
根据统计数据分组，得到如下的频率
分布直方图：
（1）将同一组数据用该区间的中点值
作代表，求这 100 人月薪收入的样本
平均数 x ；
（2）该校在某地区就业的 2018 届本
科毕业生共 50 人，决定于 2019 国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有
两种收费方案：
方案一：设区间 )1.85,2.15= ，月薪落在区间 左侧的每人收取 400 元，月薪落在区间 内
的每人收取 600 元，月薪落在区间 右侧的每人收取 800 元；
方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3% 收取；
用该校就业部统计的这 100 人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费
用？
20.(本小题满分 12 分)已知正方形的边长为 4, ,EF分别为 ,AD BC 的中点，以 EF 为棱将正方
形 ABCD 折成如图所示的60 的二面角，点 在线段 AB 上．
（1）若 M 为 AB 的中点，且直线 MF 与由 EDA ,, 三点所确定平面的交点为G ，试确定点G 的
位置，并证明直线 EMCGD 面// ；
（2）是否存在点 M ，使得直线 DE 与平面 EMC 所
成的角为 60 ；若存在，求此时
AB
AM 的值，若不存在，
说明理由．
21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C：
22
221xy
ab
＋ ＝ （a＞b＞0）的左右焦点分别为 21, FF ，点
B （0， 3 ）为短轴的一个端点， 602 = BOF ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图，过右焦点 F2，且斜率为 )0( kk 的直线l 与椭圆 C 相交于 D，E 两点，A 为椭圆的右
顶点，直线 AE，AD 分别交直线 x＝3 于点 M，N，线段 MN 的中点为 P，记直线 PF2 的斜率为 k ．试
问 k · k 是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
22.(本小题满分 12 分)已知函数 2 1( ) 2 lnf x x ax x= − − ， aR ．
（1）讨论 ()fx的单调性；
（2）若 有两个极值点 ( )1 2 1 2,x x x x ，求 ( ) ( )212f x f x− 的最大值．
安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学
2019-2020 年高二上学期期末考试数学联考试卷参考答案
一：选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）
BCDAA BBDDB CC
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.
13. 013, 2 +− xxRx 使 14. 0.3 15 )22,2( 16. ),4
5( +
三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解析：（1） 32)()( 2' −−= xxxfxf 的导数 ………………1 分
3)1(,4)1(' −=−= ff 又 ，
所以 )(xf 在点 ))1(,1( fP 处的切线方程为 014 =−+ yx （也可写成 14 +−= xy ）……………
4 分
（2） )3)(1(32)()( 2' −+=−−= xxxxxfxf 的导数
令 0)(' =xf 可得 3,1 21 =−= xx ……………5 分
当 x 变化时， )(),(' xfxf 的变化如下表
)1,( −− -1 )3,1(− 3 ),3( +
)(' xf + 0 _ 0 +
)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增
……………8 分
所以 在 =-1 处取得极大值
3
7)1( =−f
在 =3 处取得极小值
3
25)3( −=f ……………10 分
18.解析：(1)∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴BD⊥PA.
又 tan∠ABD＝AD
AB＝ 3
3 ，tan∠BAC＝BC
AB＝ 3. ………2 分
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ………………4 分
∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC.
又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC. ………………………6 分
(用坐标法各点坐标见（2），条件完整亦给分)
(2)建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，
则 A(0,0,0)，B( 3 ，0,0)，C( ，3,0)，D(0,1,0)，P(0,0,2)，CD→＝(－ 3，－2,0)，PD→
＝(0,1，－2)，BD→＝(－ 3，1,0)，
设平面 PCD 的法向量为 n ＝(x，y,1)，则CD→· ＝0，PD→· ＝0，
∴
=+−
=+
02
023
zy
yx
，可取 ,4=x 即 )3,32,4( −−=n ………………8 分
由(1)知平面 PAC 的一个法向量为 m ＝BD→＝(－ 3，1,0)，………………10 分
∴cos〈 ， 〉＝
|||| nm
nm
＝ 8＋4
93
3 ×4
＝3 93
31 ，………………………………11 分
由题意可知二面角 APCD 为锐二面角，
∴二面角 APCD 的余弦值为3 93
31 .……………………………………………12 分
19.解析：(1)这 100 人月薪收入的样本平均数 x 是
0.02 1.7 0.10 1.8 0.24 1.9 0.31 2x = + + +
0.2 2.1 0.09 2.2 0.04 2.3 2+ + + = .………5 分
(2)方案一：月薪落在区间 左侧收活动费用约为( )0.02 0.10 400 50 10000 0.24+ =
（万元）；
月薪落在区间 收活动费用约为( )0.24 0.31 0.20 600 50 10000 2.25+ + = （万元）；
月薪落在区间 右侧收活动费用约为( )0.09 0.04 800 50 10000 0.52+ = （万
元）；
因此方案一，这 50 人共收活动费用约为 3.01（万元）；………………………9 分
方案二：这 50 人共收活动费用约为50 0.03 3x = （万元）；………………11 分
故方案一能收到更多的费用. ……………………12 分
20.解析：（1）因为直线 MF 平面 ABFE ，
故点G 在平面 内也在平面 ADE 内，
所以点 在平面 与平面 的交线上（如图所示）
………………………………………………………………2 分
因为 BFAG // ， M 为 AB 的中点，所以 MBFGAM ，
所以 MFGM = ， BFAG = ，所以点 在 EA 的延长线上，且 2=AG
连结 DF 交 EC 于 N ，因为四边形CDEF 为矩形，所以 是 的中点…………………4 分
连结 MN ，因为 为 DGF 的中位线，所以 GDMN // ，
又因为 MN 平面 EMC ，所以直线 EMCGD 面// .…………………5 分
（2）由已知可得， EF AE⊥ ， EF DE⊥ ，所以 EF ⊥ 平面 ，
所以 GDEABEF 平面平面 ⊥ ，取 AE 的中点 H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，
所以 ( 1,0,0)E − ， (0,0, 3)D ， (0,4, 3)C ，
( 1,4,0)F − ，…………………7 分
所以 (1,0, 3)ED = ， (1,4, 3)EC = ，
设 (1, ,0)(0 4)M t t ，则 (2, ,0)EM t= ，
设平面 的法向量 ( , , )m x y z= ，则
200
0 4 3 0
x tym EM
m EC x y z
+=== + + =
，
取 2y =− ，则 xt= ， 8
3
tz −= ，所以 8, 2,
3
tmt −=−
，…………………9 分
DE 与平面 所成的角为60 ，所以 2
2
83
2(8 )243
tt
=
−++
，
所以
2
2 3 3
24 19tt
=
−+
，所以 2 4 3 0tt− + = ，解得 1t = 或 3t = ，…………………11 分
此时
4
1=AB
AM 或
4
3=AB
AM
所以存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 。…………………12 分
21.解析：（1）由条件可知 2, 3ab==， 故所求椭圆方程为 134
22
=+ yx .…………………………4分
（2）设过点 2 (1,0)F 的直线l 方程为： )1( −= xky .
由 22
( 1),
143
y k x
xy
=− +=
可得： 01248)34( 2222 =−+−+ kxkxk
因为点 2 (1,0)F 在椭圆内，所以直线 和椭圆都相交，即 0 恒成立.
设点 1 1 2 2( , ), ( , )E x y D x y ，
则
34
124,34
8
2
2
212
2
21 +
−=+=+ k
kxxk
kxx . ……………………………………………6 分
因为直线 AE 的方程为： )2(21
1 −−= xx
yy ，直线 AD 的方程为： )2(22
2 −−= xx
yy ，
令 3x = ，可得 )2,3(
1
1
−x
yM ， )2,3(
2
2
−x
yN ，所以点 P 的坐标
12
12
1(3, ( ))2 2 2
yy
xx+−− . ……8 分
直线 2PF 的斜率为
12
12
1 ( ) 02 2 2' 31
yy
xxk
+−−−= −
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 2( )
4 2( ) 4
x y x y y y
x x x x
+ − += − + +
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 ( ) 41
4 2( ) 4
kx x k x x k
x x x x
− + += − + +
22
22
22
22
4 12 82 3 41 4 3 4 3
4 12 84 244 3 4 3
kkk k kkk
kk
kk
− − +++= − − +++
3
4k=− ，
所以 为定值
4
3− . …………………………………………………………………12 分
22. 解析：（1）
21 2 2 1( ) 2 2 x axf x x a xx
−+= − + = ， 0x ，…………………1 分
A
B
C D
E F
G
N
M
第 20 题图
l
令 22 2 1y x ax= − + ，
当 24 8 0a = − ，即 22a− 时， 0y≥ ，此时 ()fx在 (0, )+ 上单调递增；………2
分
当 2a − 时， 22 2 1 0x ax− + = 有两个负根，此时 在 上单调递增；………3 分
当 2a 时， 有两个正根，分别为
2
1
2
2
aax −−= ，
2
2
2
2
aax +−= ，
此时 在( )10, x ，( )2 ,x + 上单调递增，在( )12,xx 上单调递减．………………………5 分
综上可得: 2a 时， 在 上单调递增，
时， 在
2 20, 2
aa−−
，
2 2 ,2
aa+−+
上单调递增，在
2222,22
a a a a− − + −
上单调递
减．………………………………………………………………………………………………………………6 分
（2）由（1）可得 1 2 1 2
1, 2x x a x x+ = = ， ，
2
112 2 1ax x=+， 2
222 2 1ax x=+，
∵ ，
2
22
a ，∴
1
20, 2x ， 2
2 ,2x +，
∴
( ) ( ) ( )22
2 1 2 2 2 1 1 12 2 ln 2 2 lnf x f x x ax x x ax x− = − + − − +
22
2 1 2 12 ln 2ln 1x x x x= − + + − +
2
2 2 2
2 2 2 22
2 2 2
1 1 1 32 ln 2ln 1 ln 1 2ln 22 2 2 2x x x xx x x
= − + + − + = − + + + +
…………………8 分
令
2
2tx= ，则
1
2t
13( ) ln 1 2ln 222g t t tt= − + + + +
2
2 2 2
1 3 2 3 1 (2 1)( 1)( ) 1 2 2 2 2
t t t tgt t t t t
− + − − − −= − − + = =
……………………………………10 分
当
1 12 t时，
( ) 0gt
；当 1t 时，
( ) 0gt
∴
()gt
在
1 ,12
上单调递增，在
(1, )+
单调递减
∴
max
1 4ln 2( ) (1) 2g t g +==
∴
( ) ( )212f x f x−
的最大值为
1 4ln 2
2
+
．………………………………………………………12 分