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- 2021-04-13 发布
2016-2017学年新疆石河子二中高二（下）第一次月考数学试卷
一、选择：（12*5=60）
1．已知抛物线的标准方程是y2=6x，则它的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．以下判断正确的是（ ）
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”是真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
3．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦 AB过点F2，则△ABF1的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
4．命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0
C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤0
5．在椭圆的标准方程中，a=6，b=，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
6．已知函数y=f（x）的图象如图，则的关系是：（ ）
A． B．
C． D．不能确定
7．设集合A={x|＜0}，B={x||x﹣1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．如果双曲线经过点，渐近线方程为，则此双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如果双曲线的方程是：，则直线与此双曲线的交点个数为（ ）
A．1个 B．0个 C．2个 D．无数个
10．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3 B． C． D．
12．若双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线的方程是（ ）
A．3y2﹣x2=36 B．x2﹣3y2=36 C．3x2﹣y2=36 D．y2﹣3x2=36
二、填空：（4*5=20）
13．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是 ．
14．双曲线﹣=1的离心率等于 ．
15．△ABC的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），求顶点B的轨迹方程 ．
16．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p= ．
三、解答：（共70分）
17．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）；若￢p是￢q的充分而不必要条件，求m的取值范围．
18．过点（1，1）且与f（x）=x2相切的直线方程为 ．
19．在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）设直线与C交于A、B两点，求弦AB的长度．
20．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
21．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．
22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
2016-2017学年新疆石河子二中高二（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择：（12*5=60）
1．已知抛物线的标准方程是y2=6x，则它的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点在x轴正半轴上，且p=3，进而由焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程是y2=6x，
其焦点在x轴正半轴上，且p=3，
则其焦点坐标为（，0）；
故选：A．
2．以下判断正确的是（ ）
A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题
B．命题“p∧q”是真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据复合命题真假的判断表选择．
【解答】解：对于A，命题p是真命题时，命题“p∧q”不一定是真命题；故A错误；
对于B命题“p∧q”是真命题时，两个命题都是真命题；所以命题p一定是真命题；故B正确；
对于C，命题“p∧q”是假命题时，p，q至少一个是假命题，故命题p一定是假命题错误；
对于D，命题p是假命题时，命题“p∧q”一定是假命题；故D错误；
故选：B．
3．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦 AB过点F2，则△ABF1的周长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，再作出椭圆的图形，分析可得△ABF1的周长L=|AF1|+|AF2|+|AB|═|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点在y轴上，且a=5，
如图：△ABF1的周长L=|AF1|+|AF2|+|AB|
═|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，
又由a=5，
则则△ABF1的周长为20；
故选：D．
4．命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0
C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤0
【考点】命题的否定；特称命题．
【分析】根据特称命题的否定的全称命题进行求解即可．
【解答】解：∵“∃x∈R，x2+2x+2≤0”是特称命题，
∴根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．
故选C．
5．在椭圆的标准方程中，a=6，b=，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，依据焦点位置分2种情况讨论：分别求出椭圆的标准方程，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
焦点在x轴上，椭圆的标准方程为： +=1；
焦点在y轴上，椭圆的标准方程为： +=1；
则椭圆的标准方程是+=1或+=1；
故选：D．
6．已知函数y=f（x）的图象如图，则的关系是：（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论．
【解答】解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，
∴根据导数的几何意义可知f′（xA）＜f′（xB），
故选：B．
7．设集合A={x|＜0}，B={x||x﹣1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先化简集合A和B，再根据“a=1”和“A∩B≠∅”中是谁推出谁来进行判断．
【解答】解：设集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x||x﹣1|＜a}={x|﹣a+1＜x＜a+1}，
当a=1时，B={x|0＜x＜2}，
若“a=1”则“A∩B≠∅”；
若“A∩B≠∅”则不一定有“a=1”，比如a=．∴若“a=1”则有“A∩B≠∅”反之不成立．
故选A．
8．如果双曲线经过点，渐近线方程为，则此双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．
【分析】根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；再将将点 （6，），代入方程，可得λ；即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，
则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；
又因为双曲线经过点 （6，），
代入方程可得，λ=1；
故这条双曲线的方程是；
故选B．
9．如果双曲线的方程是：，则直线与此双曲线的交点个数为（ ）
A．1个 B．0个 C．2个 D．无数个
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由直线与渐近线y=x平行，且过点（﹣1，0），则直线与此双曲线仅有一个交点．
【解答】解：双曲线的渐近线方程：y=±x，焦点坐标为（±，0），
由直线与渐近线y=x平行，且过点（﹣1，0），
点（﹣1，0）在双曲线内部，则直线与此双曲线仅有一个交点，
故选A．
10．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．
【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故选：D．
11．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．
【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．
【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P到直线的距离
d=；
故选D．
12．若双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线的方程是（ ）
A．3y2﹣x2=36 B．x2﹣3y2=36 C．3x2﹣y2=36 D．y2﹣3x2=36
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出椭圆焦点为（0，±4），离心率为，利用双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，即可求双曲线方程．
【解答】解：椭圆4x2+y2=64，即=1，
焦点为（0，±4），离心率为，
所以双曲线的焦点在y轴上，c=4，e=，
所以a=6，b=2，
所以双曲线方程为=1，即y2﹣3x2=36，
故选：D．
二、填空：（4*5=20）
13．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是 y2=±x ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】题干错误：边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴？，不可能啊
【解答】解：由题意可得该等边三角形的高为．因而A点坐标（1，2）或（1，﹣2）．可设抛物线方
程为y2=2px（p≠0）．A在抛物线上，因而p=±．因而所求抛物线方程为y2=±x．
故答案 y2=±x．
14．双曲线﹣=1的离心率等于 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率．
【解答】解：由双曲线 可知a=3，b=4
所以c==5
∴离心率e==
故答案为．
15．△ABC的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），求顶点B的轨迹方程 +=1（x≠±2） ．
【考点】轨迹方程．
【分析】利用a，b，c成等差数列，结合椭圆的定义，可得轨迹，从而可求顶点B的轨迹方程．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，
∴2|AC|=|BC|+|AB|
∵A（﹣1，0），C（1，0），
∴|BC|+|AB|=4＞|AC|
∴顶点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且A，B，C三点不共线
∴顶点B的轨迹方程为+=1（x≠±2），
故答案为+=1（x≠±2）．
16．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p= 2 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．
【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，
联立有，
∴x1+x2=3p，x1x2=
∴|x1﹣x2|==
又求得p=2
故答案为2
三、解答：（共70分）
17．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）；若￢p是￢q的充分而不必要条件，求m的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】对于p：x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．可得￢p：A={x|x＞10或x＜﹣2}．￢q：B={x|x＜1﹣m，或x＞1+m（m＞0）}．根据￢p是￢q的充分而不必要条件，可得A⊊B．即可得出．
【解答】解：对于p：x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10；
q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．
￢p：A={x|x＞10或x＜﹣2}．
￢q：B={x|x＜1﹣m，或x＞1+m（m＞0）}．
∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴A⊊B．
∴，解得0＜m≤3．
∴m的取值范围是（0，3]．
18．过点（1，1）且与f（x）=x2相切的直线方程为 2x﹣y﹣1=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求导，进而求出切线的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程．
【解答】解：∵点（1，1）满足函数f（x）=x2，∴该点在函数的图象上．
∵f′（x）=2x，∴f′（1）=2，即为切线的斜率．
∴过点（1，1）且与f（x）=x2相切的直线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1=0．
故答案为2x﹣y﹣1=0．
19．在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）设直线与C交于A、B两点，求弦AB的长度．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）设P（x，y），运用椭圆的定义，可得2a=4，再由椭圆的a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）设P（x，y），M（0，）、N（0，）
∵|PM|+|PN|=4＞2=|MN|，
由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以M、N为焦点，长半轴为2的椭圆，
它的短半轴b==1，
故曲线C的方程为x2+=1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线与C，消去y并整理得x2=4，
故x=±，
∴有|AB|=•=4．
20．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．
【分析】（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．
【解答】解：（1）由已知双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）
由双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，
∴
∴，
∴b2=2
∴所求双曲线为…
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上
∴，两方程相减得：得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0
∴，
∴
∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0
经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．…
21．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．
（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．
【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，
其中△=4p2k2+16p＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，
∴===﹣4p+4，
由已知，﹣4p+4=2，解得p=，
∴抛物线E的方程为x2=y．
（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，
===x1﹣x2，
同理k2=x2﹣x1，
∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．
22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=． =，作差|GH|2﹣即可判断出．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=， =．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．
【解答】解法一：（1）由已知得，解得，
∴椭圆E的方程为．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．
由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．
G，
∴|GH|2==+=++．
===，
故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．
∴，故G在以AB为直径的圆外．
解法二：（1）同解法一．
（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=， =．
由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，
∴y1+y2=，y1y2=，
从而=
=+y1y2
=+
=﹣+=＞0．
∴＞0，又，不共线，
∴∠AGB为锐角．
故点G在以AB为直径的圆外．