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- 2021-04-13 发布
课时分层训练(三十八) 直接证明与间接证明
(对应学生用书第308页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若a，b，c为实数，且aab>b2
C．< D．>
B [a2－ab＝a(a－b)，∵a0，
∴a2>ab.①
又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②
由①②得a2>ab>b2.]
2．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a，b大小不定
B [∵a＝－＝，
b＝－＝.
而＋＞＋＞0(m＞1)，
∴＜，即a＜b.]
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
C [由题意知0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
A [由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＜0，故选A．]
5．设a，b是两个实数，给出下列条件： 【导学号：97190213】
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
C [若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，但不满足a，b中至少有一个大于1，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，但a＜1，b＜1，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，但a＜1，b＜1，故⑤推不出．
对于③，若a＋b＞2，则“a，b中至少有一个大于1”成立．
证明(反证法)：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b＞2矛盾．
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C．]
二、填空题
6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．
x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________．
m⇐a0，显然成立．]
8．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是________．
a≥0，b≥0且a≠b [a＋b＞a＋b，即
(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.]
三、解答题
9．若a，b，c是不全相等的正数，求证： 【导学号：97190214】
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
[证明] ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
[解] (1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，
否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
11．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [∵≥≥，又f(x)＝在R上是减函数．
∴f≤f()≤f，即A≤B≤C．]
12．在不等边三角形ABC中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足__________. 【导学号：97190215】
a2>b2＋c2 [由余弦定理cos A＝<0，得b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.]
13．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题设得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．
由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b>1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a>－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．