2015年高考真题——数学理（新课标Ⅰ）原卷版 6页

绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答 在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 (1)设复数 z 满足 = ，则|z|=( ) （A）1 （B） （C） （D）2 （2） =( ) （A） （B） （C） （D） [来源:学科网 ZXXK] （3）设命题 ： ，则 P 为( ) （A） （B） （C） （D） [来源:学+科+网 Z+X+X+K] （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知 M（ ）是双曲线 C： 上的一点， 是 C 上的两个焦点，若 ， 则 的取值范围是( ) （A）（- ， ） （B）（- ， ） 1+z 1 z i 2 3 o o o osin 20 cos10 cos160 sin10 3 2 3 2 1 2 1 2 p 2, 2nn N n   p 2, 2nn N n   2, 2nn N n   2, 2nn N n   2, =2nn N n  0 0,x y 2 2 12 x y  1 2,F F 1 2 0MF MF   0y 3 3 3 3 3 6 3 6 （C）（ ， ） （D）（ ， ） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺， 高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米 堆为一个圆锥的四分之一)，米堆 为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ ） (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛 （7）设 为 所在平面内一点 ，则（ ） （A） (B) （C） (D) (8)函数 = 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为( ) (A) (B) (C) (D) （9）执行右面的程序框图， 如果输入的 t=0.01，则输出的 n=( ) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （10） 的展开式中， 的系数为( ) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 D ABC 3BC CD  1 4 3 3AD AB AC     1 4 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    4 1 3 3AD AB AC    ( )f x cos( )x  ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Z    1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z    1 3( , ),4 4k k k Z   1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z   2 5( )x x y  5 2x y （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视 图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（ ） （A ）1 （B）2 （C）4 （D）8 12.设函数 = ,其中 a 1，若存在唯一的整数 ，使得 0，则 的取值范围 是（ ） (A)[- ，1） (B)[- ， ） (C)[ ， ） (D)[ ，1） 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22） 题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 （13）若函数 f(x)= 为偶函数，则 a= （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴正半 轴上，则该圆的标准方程为 . （15）若 满足约束条件 ，则 的最大值为 .[来源:Zxxk.Com] （16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 12 分） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = . （Ⅰ）求{ }的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和. 18.如图，，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥  ( )f x (2 1)xe x ax a   0x 0( )f x a 3 2e 3 2e 3 4 3 2e 3 4 3 2e 2ln( )x x a x  2 2 116 4 x y  ,x y 1 0 0 4 0 x x y x y          y x nS na n na 4 3nS  na 1 1 n n n b a a   nb n 平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面 AEC⊥平面 AFC （Ⅱ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 （19）某公司为确定下一年度投入某种产品 的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单 位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （ =1,2，···，8）数据作 了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8[来 源:学科网 ZXXK] 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ， = （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？ （给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x 、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？[来源:学。科。网] (ⅱ)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ ix iy i x y w 8 2 1 ( )i i x x   8 2 1 ( )i i w w   8 1 ( )( )i i i x x y y    8 1 ( )( )i i i w w y y    i iw x w 1 8 8 1 i i w   x 附：对于一组数据 , ，……， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分 别为： ， （20）（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，曲线 C：y= 与直线 ( ＞0)交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）= (Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示 m,n 中的最小值，设函数 ，讨论 h（x）零 点的个数. 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第 一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 （22）（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，AB 是 O 的直径，AC 是 O 的切线，BC 交 O 于 E. （Ⅰ）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 O 的切线； （Ⅱ）若 ，求∠ACB 的大小. （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极点， 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系。 （Ⅰ）求 ， 的极坐标方程； 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v v u    1 2 1 ( )( ) = ( ) n i i i n i i u u v v u u          =v u  xoy 2 4 x y kx a  a 3 1 , ( ) ln4x ax g x x    ( )y f x min  ,m n ( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x      3OA CE xOy 1C x  2C    2 21 2 1x y    x 1C 2C （Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积. （24）（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当 a=1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； （Ⅱ）若 f(x)的图像与 x 轴围成的三 角形面积大于 6，求 a 的取值范围. 3C  4 R   2C 3C M N 2C MN