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- 2021-04-13 发布
第八节 二项分布与正态分布
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
(对应学生用书第185页)
[基础知识填充]
1．条件概率
在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝(P(B)＞0)．
2．相互独立事件
(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．
(2)如果A，B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．
(3)如果A1，A2，…，An相互独立，则有
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．
(2)二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；
②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；
③各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则
P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．
4．正态分布
(1)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相互独立事件就是互斥事件．( )
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( )
(3)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( )
(4)在正态分布的分布密度上，函数：f(x)＝e中，σ是正态分布的标准差．( )
(5)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )
A． B．
C． D．
C [由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得＝P(A)，
所以P(A)＝.]
3．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )
A． B． C． D．
A [所求概率P＝C··＝.]
4．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
A [3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A．]
5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝________.
0.6 [由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.
又正态曲线关于x＝2对称．
则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，
所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.]
(对应学生用书第186页)
条件概率
(1)(2018·西宁检测(一))盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2018·东北三省三校二模)甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为________．
(1)B (2) [(1)“第一次摸出新球”记为事件A，则P(A)＝，“第二次摸出新球”记为事件B，则P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝，故选B．
(2)由于已知甲取到的数是5的倍数，那么所有的取数的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共18种，而满足甲数大于乙数的基本事件有13种，故所求的概率为P＝.]
[规律方法] 条件概率的两种求法
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A).
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
(3)P(AB)的求法：AB即事件的交，即同时发生，法一、A与B
相互独立，用概率乘法公式.法二、A与B有公共基本事件时用古典概型.
[跟踪训练] (2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
【导学号：79140372】
A． B． C． D．
C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C．]
相互独立事件同时发生的概率
(2018·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为，记A，B，C分别为甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件．
(1)分别求出事件A，B，C的概率P(A)，P(B)，P(C)；
(2)从甲、乙、丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验，记这3个零件是一等品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
[解] (1)由题设条件有
即
解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(2)由(1)知P()＝，P()＝，P()＝，ξ的可能取值为0,1,2,3.
∴P(ξ＝0)＝P()＝××＝，
P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
[规律方法] 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
(3)理解A＝12A3＋A123＋1A23的含义.
[跟踪训练] (2017·南宁质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列．
[解] 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P()＝P()P()＝×＝.
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X＝0)＝P()＝×＝，
P(X＝100)＝P(F)＝×＝，
P(X＝120)＝P(E)＝×＝，
P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求X的分布列为
X
0
100
120
220
P
独立重复试验与二项分布
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为；且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
[解] (1)X的可能取值有－200,10,20,100.
根据题意，有P(X＝－200)＝C·＝，
P(X＝10)＝C＝，
P(X＝20)＝C＝，
P(X＝100)＝C＝.
所以X的分布列为
X
－200
10
20
100
P
(2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是
P＝＋＋＝.
则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是
P1＝1－C＝.
[规律方法] 1.独立重复试验的实质及应用
独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程.
2.判断某概率模型是否服从二项分布Pn(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件
(1)在一次试验中某事件A发生的概率是同一个常数p.
(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的.
(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
[跟踪训练] 在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名学生中选做第23题的学生个数为ξ，求ξ的分布列．
[解] (1)设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“
乙选做第22题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A、B相互独立．
故P(AB＋ )＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B，则P(ξ＝k)＝C 4－k＝C(k＝0,1,2,3,4)．
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
正态分布
(1)(2018·东北三省三校二模)已知随机变量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，则P(X>2)的值为( )
A． B．
C．1－a D．
(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
【导学号：79140373】
(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%.
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
(1)A (2)B [(1)根据正态分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝，故选A．
(2)由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954
4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B．]
[规律方法] 解决有关正态分布的求概率问题的关键是充分利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间的面积为1，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.
(1)应熟记P(μ－σ100)＝＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.]