2019-2020学年河北省承德第一中学高二9月月考数学试题（解析版） 17页

‎2019-2020学年河北省承德第一中学高二9月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分析可得双曲线中b=1， ，由双曲线的几何性质可得a的值，即可得双曲线的标准方程，进而计算可得双曲线的渐近线方程，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为焦点在轴上的双曲线虚轴长为，焦距为， 所以， 则有，， 则， 则双曲线的标准方程为： ， 该双曲线的渐近线方程为为：‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，注意虚轴长、焦距等概念．‎ ‎2．抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义，将点M到焦点的距离为1转化为点M到准线的距离为1，故可求点M的纵坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的准线方程为，‎ 设点M的纵坐标是y，则 ∵抛物线y上一点M到焦点的距离为1 ∴根据抛物线的定义可知，点M到准线的距离为1 ∴‎ ‎∴ ∴点M的纵坐标是 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的定义，解题的关键是将点M到焦点的距离为1转化为点M到准线的距离为1‎ ‎3．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120º，那么此椭圆的离心率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合图形，得出之间的关系，再根据a2=b2+c2推导出a、c之间的关系，根据求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，‎ ‎∴ ．∴‎ ‎∴ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率．‎ ‎4．下列说法中正确的是（ ）‎ A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“”与“”不等价 C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”‎ D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 ‎【答案】D ‎【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性 ‎5．已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离为2，N是的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长度为（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎∵|MF2|=10-2=8，ON是△MF1F2的中位线，‎ ‎∴|ON|==4，故选B．‎ ‎【考点】本题主要考查椭圆的定义、标准方程及几何性质。‎ 点评：利用定义和三角形的中位线，作出草图数形结合更易理解。‎ ‎6．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）‎ 则点P到直线的距离 d=；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．‎ ‎7．不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于不等式的解集为，‎ 根据题意，分析选项可得，‎ A. 为其充要条件，不符合题意；‎ 中，当成立，反之若有成立，未必有成立，所以为其充分不必要条件，不合题意；‎ 中，当不一定成立，如时，‎ 反之若有成立，则必有成立，为其必要不充分条件，符合条件；‎ 中，当不一定成立，如时，‎ 反之若有成立，未必有，如，则为其既不充分，又不必要条件，不合题意；‎ 故选．‎ ‎8．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）‎ A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆 C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】根据条件，方程。即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．‎ ‎【详解】‎ 解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0， 方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．‎ ‎9．已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先把曲线方程整理成=1的形式，直线方程整理成y=ax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象．‎ ‎【详解】‎ 把曲线方程整理成=1的形式，整理直线方程得y=ax+b A，C选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误．‎ B项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误．‎ 对于D选项观察直线图象可知a＞0，b＞0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合．‎ 故选：C．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎10．若点的坐标为，为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则取最小值时点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 根据题意，作图如图，‎ 设点P在其准线x=-上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，‎ ‎∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，‎ ‎∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），‎ ‎∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，‎ 设其横坐标为x0，‎ ‎∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，‎ ‎∴x0=2，∴点P的坐标为P（2，2）,故选C．‎ ‎【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程及几何性质.‎ 点评：典型题，利用抛物线的定义，数形结合分析.‎ ‎11．下列命题:‎ ‎①动点M到二定点A、B的距离之比为常数则动点M的轨迹是圆 ‎②椭圆的离心率为,则 ‎③双曲线的焦点到渐近线的距离是 ‎④已知抛物线上两点(是坐标原点),则 以上命题正确的是( )‎ A．②③④ B．①④‎ C．①③ D．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于①，通过建立坐标系，求出动点的轨迹方程判断出正确；利用椭圆中三个参数的关系判断出②对；对于③，据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式判断出正确；对于④，利用向量垂直的充要条件判断出其错 ‎【详解】‎ 对于①，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有 化简得（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+（2a+2aλ2）x+a2-a2λ2=0，所以动点M的轨迹是圆，①正确； 对于②，，所以，所以a2=2c2，所以椭圆中有b2=a2-c2=c2，所以b=c，所以②正确； 对于③，双曲线的焦点坐标为（±c，0），渐近线的方程为：，根据点到直线的距离公式得到距离=．所以③正确； 对于④，因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又因为y2=2px，所以y12＝2px1，y22＝2px2，所以y1y2=-4p2．④不正确 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用曲线的方程判断曲线的形状；考查椭圆中三个参数的关系；考查双曲线中渐近线的方程，属于一道综合题．‎ ‎12．如图，圆F：和抛物线，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求的值是（ ） ‎ A．1 B．2 C．3 D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】可分两类讨论，若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标，从而|AB||CD ‎|=1．若直线的斜率存在，设为直线方程为y=k（x-1），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），过A、D分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，利用韦达定理及|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2，可求|AB||CD|的值．‎ ‎【详解】‎ 解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x=1，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（1，2）（1，1）（1，-1）（1，-2），所以|AB|=1，|CD|=1，从而|AB||CD|=1．若直线的斜率存在，设为k，因为直线过抛物线的焦点（1，0），则直线方程为y=k（x-1），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），过A、D分别作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义，|AF|=x1+1，|DF|=x2+1，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由韦达定理有 x1x2=1而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=R=1 从而有|AB|=|AF|-|BF|=x1，|CD|=|DF|-|CF|=x2． 所以|AB||CD|=x1x2=1 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与抛物线的综合，考查分类讨论的数学思想，考查抛物线的定义，综合性强．‎ 二、填空题 ‎13．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且 =, 那么椭圆的方程是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可设椭圆方程为： ‎ ‎∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上 ‎∴‎ 又， ‎ ‎∴∴椭圆的方程为： ．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．‎ ‎14．过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设所求直线斜率为 和与双曲线两交点坐标，代入双曲线方程，两式相减求得，进而用点斜式求得直线的方程．‎ ‎【详解】‎ 由于双曲线图象关于 x 轴对称，且 M 不在 x 轴上，所以所求直线不平行于 y 轴，即斜率为实数,‎ 设所求直线斜率为 ，与双曲线两交点坐标为 （4+t， 1+at） 和 （4-t，1-at）． 坐标代入双曲线方程，得： ‎ 两式相减，得： 4t-4at=0 ∴ ‎ ‎∴所求直线方程为 ‎ 即 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．‎ ‎15．给出下列结论：‎ ‎①“且为真”是“或为真”的充分不必要条件：②“且为假”是“或为真”的充分不必要条件；③“或为真”是“非为假”的必要不充分条件；④“非为真”是“且为假”的必要不充分条件.‎ 其中，正确的结论是__________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】根据含“或”、“且”复合命题的真假逐项判定即可.‎ ‎【详解】‎ 对于①，“且为真”可知p、q为真，可知“或为真”， “或为真”不能得到p、q为真，所以“且为真”是“或为真”的充分不必要条件，正确.对于②“且 为假”可能p,q都是假命题，推不出“或为真”，所以“且为假”是“或为真”的不充分条件，故错误.对于③“或为真”可知p,q中至少一个为真，但推不出“非为假”，若“非为假”可知p为真，故“或为真”，所以“或为真”是“非为假”的必要不充分条件正确.对于④，“非为真”可知p是假命题，可推出“且为假”，所以“非为真”是“且为假”的充分条件，所以④错误，综上可知填①③.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假的判断，充分条件，必要条件，属于中档题.‎ ‎16．设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且， 椭圆C的离心率为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出Q点坐标，由F，A的坐标表示出和，根据求得，设,根据 求得和的表达式，把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．‎ ‎【详解】‎ 解：设，由，知 ‎∵，,‎ ‎∴，‎ 设， 由得， ‎ 因为点在椭圆上，所以 整理得2b2=3ac，即2（a2-c2）=3ac，2e2+3e-2=0，故椭圆的离心率 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质．‎ 三、解答题 ‎17．命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；‎ ‎①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；‎ ‎②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，‎ ‎∵p∨q为真，而p∧q为假，‎ ‎∴p、q一真一假，‎ 当p真q假时，有，‎ ‎∴﹣2＜a≤1；‎ 当p假q真时，有，‎ ‎∴a≥2‎ ‎∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．‎ 即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．‎ ‎18．P为椭圆上一点，.为左右焦点，若 ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求P点的坐标．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的定义，由余弦定理可得，两式结合可求得，根据三角形的面积公式，即可求得的面积；（2）由（1）可得，即可求得的值，代入椭圆方程，即可求得的值，求得点坐标.‎ 试题解析：∵a＝5，b＝3c＝4  （1）设，，则  ①‎ ‎  ②，由①2－②得 .‎ ‎       ‎ ‎（2）设P，由得  4，将 代入椭圆方程解得，或或或 ‎19．已知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,只须求得坐标x,y之间的关系式即可.再设,易求的焦点F的坐标为结合中点坐标公式即可求得x,y的关系式.‎ ‎【详解】‎ 设，，，易求的焦点为，‎ 是FQ的中点,‎ ‎， 又Q是OP的中点 ‎ ‎, 在抛物线上,, 所以M点的轨迹方程为.‎ ‎20．设椭圆,过、两点，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若直线与圆相切,并且与椭圆相交于两点、,‎ 求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）把、两点的坐标代入椭圆方程即得关于的方程组解得即可；（2）设，，联立直线与椭圆的方程的方程组，再消去，根据韦达定理得，的值，再利用向量数量积的坐标运算可得，从而可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为椭圆，过，两点，‎ 所以所以 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，由题意得，‎ 所以，‎ 联立直线与椭圆方程得，‎ 有，，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的数量积．‎ ‎21．如图, 直线与抛物线交于两点, 线段的垂直平分线与直线交于点. ‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）当P为抛物线上位于线段下方（含）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 最大值30‎ ‎【解析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标． （2）设出P的坐标，利用P到直线OQ的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得OQ的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：(1) 解方程组得或 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).‎ 由,‎ 直线的垂直平分线方程 令, 得, ∴‎ ‎(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设 ‎∵点P到直线OQ的距离d==,,‎ ‎∴=.‎ ‎∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ‎ ‎∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.‎ ‎∵函数在区间上单调递增, ‎ ‎∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．‎ ‎22．已知直线经过椭圆: 的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）求线段的长度的最小值；‎ ‎（3）当线段的长度最小时，在椭圆上有两点，使得,的面积都为，求直线在y轴上的截距。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；(3) ‎ ‎【解析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可． （2）引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解 出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值． （3）在上一问的基础上求出的参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段SB 的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为 即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，求出平行直线l'，即有得到y轴上的截距．‎ ‎【详解】‎ 解（1）由已知得椭圆的左顶点 (-2，0)，上顶点（0，1），‎ 得,故椭圆方程： ‎ ‎（2）直线AS的斜率k显然存在，且大于0，故设直线AS：，‎ 得 由得 ‎ 设，则，可得 从而，即 B（2，0），直线BS：‎ 可得，，‎ ‎ ，当且仅当时，线段长度最小值为。‎ ‎（3），直线BS的方程为，‎ 椭圆上有两点使三角形面积为，则点到BS的距离等于， ‎ 设直线：，由，得或 ‎①当，联立得，检验，符合题意。‎ ‎②，联立得，检验，舍去。‎ 综上所述，直线在y轴上的截距是 ‎【点睛】‎ 本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目，要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好的理解，且运算能力较强才能胜任此类题的解题工作，这是一个能力型的题，好题．‎