【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第4讲　第1课时　三角函数的图象与性质（一）学案 16页

第4讲　三角函数的图象与性质 一、知识梳理 ‎1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x≠kπ＋，k∈Z}‎ 值域 ‎[－1，1]‎ ‎[－1，1]‎ R 函数的 最值 最大值1，当且 仅当x＝2kπ ‎＋，k∈Z；‎ 最小值－1，当 且仅当x＝‎ ‎2kπ－，k∈Z 最大值1，当且 仅当x＝2kπ，‎ k∈Z；　　　‎ 最小值－1，当且 仅当x＝2kπ－π，‎ k∈Z 无最大值和最小值 单调性 增区间[k·2π－，k·2π＋](k∈Z)；‎ 减区间[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z)‎ 增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)；‎ 减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)‎ 增区间(k·π－，k·π＋)(k∈Z)‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π 周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π 对称性 对称 中心 ‎(kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 无对称轴 零点 kπ，k∈Z kπ＋，k∈Z kπ，k∈Z ‎2.周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.‎ 常用结论 ‎1．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．‎ ‎2．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．‎ 二、习题改编 ‎1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)‎ A．T＝π，A＝1　　　　　 B．T＝2π，A＝1‎ C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2‎ 答案：A ‎2．(必修4P45练习T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D ‎3．(必修4P38例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为 ，此时x＝‎ ‎ ．‎ 答案：5　＋2kπ(k∈Z)‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．(　　)‎ ‎(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(　　)‎ ‎(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)‎ ‎(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)‎ ‎(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ 二、易错纠偏 (1)忽视y＝Asin x(或y＝Acos x)中A对函数单调性的影响；‎ ‎(2)忽视正、余弦函数的有界性；‎ ‎(3)不注意正切函数的定义域．‎ ‎1．函数y＝1－2cos x的单调递减区间是 ．‎ 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)‎ ‎2．函数y＝－cos2x＋3cos x－1的最大值为 ．‎ 答案：1‎ ‎3．函数y＝cos xtan x的值域是 ‎ 答案：(－1，1)‎ 第1课时　三角函数的图象与性质(一)‎ ‎　　　　　　三角函数的定义域(师生共研)‎ ‎ (1)函数y＝的定义域为 ；‎ ‎(2)函数y＝ 的定义域为 ．‎ ‎【解析】　(1)要使函数有意义，必须有 即故函数的定义域为 .‎ ‎(2)要使函数有意义，则cos x－≥0，即cos x≥，‎ 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以函数的定义域为.‎ ‎【答案】　(1) ‎(2) 三角函数定义域的求法 ‎(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．‎ ‎(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．‎ ‎1．函数y＝lg(3tan x－)的定义域为 ．‎ 解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，‎ 则3tan x－>0，即tan x>.‎ 所以＋kπ－，故sin＞sin.‎ 答案：＞‎ ‎7．已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是 ．‎ 解析：由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ 又因为x∈[－π，0]，‎ 所以f(x)的单调递增区间为和.‎ 答案：和 ‎8．设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．‎ 解析：由于对任意的实数都有f(x)≤f成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)，又ω>0，所以ωmin＝.‎ 答案： ‎9．已知f(x)＝sin.‎ ‎(1)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．‎ 解：(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin.讨论函数f(x)在区间上的单调性并求出其值域．‎ 解：令－≤2x－≤，则－≤x≤.‎ 令≤2x－≤π，则≤x≤.‎ 因为－≤x≤，‎ 所以f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ 当x＝时，f(x)取得最大值为1.‎ 因为f＝－