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- 2021-04-13 发布
2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（ ）
A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0
C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0
2．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（ ）
A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54
3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知等比数列{an}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）
7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+
2y的最小值为2，则m=（ ）
A．2 B．1 C． D．﹣2
8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞） B．[﹣6，+∞） C．[﹣28，+∞） D．[﹣45，+∞）
10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（ ）
A．[﹣6，﹣2] B．[2，6] C． D．
11．（5分）设数列{an}的前n项和Sn，若+++…+=4n﹣4，且an≥0，则S100等于（ ）
A．5048 B．5050 C．10098 D．10100
12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）
A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）已知正项等比数列{an}的公比为2，若，则
的最小值等于 ．
15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是 ．
16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
（1）证明：AC⊥D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
19．（12分）已知数列{{an}满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列{bn}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．
（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
21．（12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=6．
（1）求该抛物线E的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点A（1，0），点B（a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．
（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；
（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．
2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（ ）
A．∀x＞0，x﹣lnx≤0 B．∀x＞0，x﹣lnx＜0
C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0 D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（ ）
A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54
【分析】由已知利用等差数列的通项公式得到a1+4d=﹣3，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S9的值．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，2a1+a13=﹣9，
∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，
∴S9==9（a1+4d）=﹣27．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．可得＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．
【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．
∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．
∴“＜”是“＞0”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的性质、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，可得a=2b，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，
∴a=2b，
∴c=b，
∴双曲线的离心率是e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．
5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．
【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：
A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；
∴；
∴；
∴BM与AN所成角的余弦值为．
故选：D．
【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求出空间点的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清向量夹角和异面直线所成角的关系．
6．（5分）已知等比数列{an}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C．[6，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）
【分析】由已知得等比数列{an}前三项和S3=，由此分q＞0和q＜0两种情况分类讨论，能求出其前三项和S3的取值范围．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=2，
∴其前三项和S3=，
当q＞0时，S3=≥2+2=6；
当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．
∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查等比数列的前3项和的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和基本不等式性质的合理运用．
7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（ ）
A．2 B．1 C． D．﹣2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，
化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．
由，解得A（m，m），A代入z=x+2y，可得m+2m=2，解得m=．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】将向量转化成=，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出CD的长．
【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，
直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，
∴=，
∵AB=4，AC=6，BD=8，
∴2=（）2
=+2
=36+16+64+2×6×8×cos120°
=68．
∴CD的长为||=2．
故选：B．
【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞） B．[﹣6，+∞） C．[﹣28，+∞） D．[﹣45，+∞）
【分析】分离参数可得a≥﹣2（）2，t=，则2≤t≤5，则a≥t﹣2t2在[
2，5]上恒成立，利用二次函数的性质求出t﹣2t2的最大值，即可求出a的范围．
【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，
即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，
令 t=，则2≤t≤5，
∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，
∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，
∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，
∴ymax=﹣2×22+2=﹣6，
∴a≥﹣6，
故选B．
【点评】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，综合性强，易出错．在解答的过程当中充分体现了Ff分离参数的办法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．
10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（ ）
A．[﹣6，﹣2] B．[2，6] C． D．
【分析】由题意可设A（x1，y1），（﹣x1，﹣y1），得到，再设P（x0，y0），得．两式作差后结合直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，即可求得直线PB的斜率取值范围．
【解答】解：∵椭圆C：与函数y=x3的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点关于原点对称，设A（x1，y1），（﹣x1，﹣y1），
则，即．
设P（x0，y0），则，可得：．
∴．
∵直线PA的斜率k1的取值范围[﹣3，﹣1]，
∴﹣3≤≤﹣1，得，
∴直线PB的斜率取值范围是[]．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、幂函数的对称性，训练了利用“点差法”求直线的斜率，是中档题．
11．（5分）设数列{an}的前n项和Sn，若+++…+=4n﹣4，且an≥0，则S100等于（ ）
A．5048 B．5050 C．10098 D．10100
【分析】根据题意推知数列{an}的通项公式是an=2n（n≥2），然后由前n项和公式进行解答即可．
【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．
当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①
+++…+=4n﹣8，②
+++…++=4n，③
由①﹣②得到：=4，
∵an≥0，
∴an=2n，
由③﹣①得到：=4，
∴an+1=2n+2，
∴an+1﹣an=2，
∴数列{an}是等差数列，公差是2，
综上所述，an=，
∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．
故选：C．
【点评】本题考查了数列求和．解题的关键是求得数列{an}的通项公式，在求该通项公式时，要分类讨论：n=1和n≥2两种情况，以防错解．
12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）
A．4x±y=0 B．x±4y=0 C．2x±y=0 D．x±2y=0
【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出D的坐标，由题意列式求出D的坐标，结|MF|=3|DF|，求得M的坐标，再把M的坐标代入双曲线方程求得答案．
【解答】解：由x2+y2﹣y+=0，得x2+（y﹣）2=，
则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．
设切点D（x0，y0）（y0＞0），
则由x2+y2﹣y+=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，
解得：x0=，y0=．
∴D（，），
由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣ ），
代入 双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±x．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线间的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 [1，+∞） ．
【分析】根据￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，利用不等式的关系进行转化即可．
【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
∵q：x＞a，
∴a≥1，
即实数a的取值范围是[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．
14．（5分）已知正项等比数列{an}的公比为2，若，则的最小值等于 ．
【分析】由等比数列的通项公式可得m+n=6，可得=（m+n）（），展开后，运用基本不等式，即可得到所求最小值．
【解答】解：正项等比数列{an}的公比为2，若，
可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，
即有m﹣1+n﹣1=4，
则m+n=6，
可得=（m+n）（）=（2+++）
≥（+2）=×=．
当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，
则的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和运用，考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．
15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是 6 ．
【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，
如图所示：
利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，
当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．
即CM⊥x轴，
此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的知识点：圆外一点到圆的最小距离，抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．
16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是 ．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DF的长度的取值范围．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0），
=（﹣，y，﹣1），=（x，﹣1，﹣），
∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即x+2y﹣1=0
∴DF===，
∵0＜x＜1，0＜y＜1，
∴0＜y＜，
当y=时，线段DF长度的最小值=，
当y=0时，线段DF长度的最大值是1，
而不包括端点，故y=0不能取1．
∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．
故答案为：．
【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10分）已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，
所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），
所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，
所以4a3=a1，因为数列{an}是等比数列，
所以，
又q＞0，所以，
所以数列{an}的通项公式．
（2）由（1）知，，，
所以，
=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，
=．
故．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．
18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．
（1）证明：AC⊥D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
【分析】（1）连接BD，说明D1D⊥平面ABCD，推出D1D⊥AC，结合BD⊥AC，得到AC⊥平面BB1D1D，然后证明AC⊥D1E．
（2）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1
所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，，求出平面AD1E的法向量利用空间向量才数量积求解 DE与平面AD1E所成角的正弦值即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，
在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，
又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，
而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；
（2）如图，以D为坐标原点，
以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），
，
设平面AD1E的法向量为，则，
令z=1，则，
∴，
所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
19．（12分）已知数列{{an}满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列{bn}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）利用递推关系式推出，然后说明数列是以2为首项，公比为2的等比数列．
（2）求出通项公式，推出，说明bn+1＞bn，即可得到λ的范围．
【解答】解：（1）因为数列{an}满足，所以，
即，又a1=1，所以，
所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可得，所以，
因为b1=﹣λ符合，所以．
因为数列{bn}是单调递增数列，所以bn+1＞bn，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，
化为λ＜n+1，所以λ＜2．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，函数与数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．
（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【分析】（Ⅰ）取AD中点为O，BC中点为F，由已知得PO⊥平面ABCD，则FO⊥PO，再由FO⊥AD，得FO⊥平面PAD，得到FO⊥AE，可得CD⊥AE，由E是PD中点，可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，进一步得到平面AEC⊥平面PCD；
（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，求出P，A，C的坐标，由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，进一步求出平面PAC的一个法向量，由二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=求出a值，再由棱锥体积公式求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，
由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，
又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，
又CD∥FO，则CD⊥AE，
又E是PD中点，则AE⊥PD，
由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，
又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．
由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，
令=（1，y，z）为平面PAC的法向量，
由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，
∴，解得，则，
由cos θ=||=，解得a=．
故四棱锥P﹣ABCD的体积V=SABCD•PO=•2••=2．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
21．（12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=6．
（1）求该抛物线E的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．
【分析】（1）抛物线的焦点，直线AB的方程为：，联立方程组，利用韦达定理，弦长公式求出p，即可得到抛物线方程．
（2）设C，D两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠
0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出P、Q坐标，求出PQ方程，利用直线系求解定点坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：
联立方程组，消元得：，
∴
∴，解得p=±2．
∵p＞0，
∴抛物线E的方程为：y2=4x．
（2）证明：设C，D两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．
由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．
由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）﹣4k4=16k2+16＞0
因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．
所以点P的坐标为．
由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．
当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．
所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．
于是，直线PQ恒过定点（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点A（1，0），点B（a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．
（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；
（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．
【分析】（I）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．
（II）设直线l：x=my﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），推导出，由，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出的取值范围．
【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，
∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，
∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，
由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，
故点Q的轨迹方程为
（II）由题可知，设直线l：x=my﹣1，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）
∵，
，
∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，
∴，
∵，
即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），
∴=﹣∈（，3）．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查两个三角形的面积的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．