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- 2021-04-13 发布
数学（理科）试卷
注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.
2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求.）
1.已知向量 ( 2,2,0)a ， ( 2,0,2)b ,若向量 n
满足 n a 且 n b ，则向量 n
可取为
（ ）
A. (1,1,0) B. (0,1,1) C. (1,0,1) D. (1,1,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
设向量 ( , , )n x y z ，根据 n a 且 n b ，列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，设向量 ( , , )n x y z ，因为 n a 且 n b ，
则 0
0
n a
n b
，即 2 2 0
2 2 0
x y
x z
，令 1z ，可得 1, 1x y ，
所以其中一个向量 (1,1,1)n .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，
以及向量垂直的条件，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.椭圆
2 2
14 9
x y 的焦点坐标是（ ）
A. (0, 5) B. ( 5,0) C. ( 13,0) D.
(0, 13)
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆方程得到椭圆的焦点在 y 轴上，且 5c ，即可求解椭圆的焦点坐标，得到答案.
【详解】由题意，椭圆
2 2
14 9
x y ，即
2 2
19 4
y x ，可得椭圆的焦点在 y 轴上，且
9 4 5c ，
所以椭圆的焦点坐标为 (0, 5) .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质，其中解答中熟记椭圆的标
准方程，以及熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
3.方程 2 2 1x y 的曲线是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把方程 2 2 1x y ，化为 1y x
或 1y x
，结合反比例函数的性质，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，方程 2 2 1x y ，可化为 1xy 或 1xy ，即 1y x
或 1y x
，
根据反比例函数的性质，即可得选项 D 为函数 2 2 1x y 的图象.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了曲线与方程的应用，其中解答中合理化简曲线的方程，结合反比例
函数进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
4.已知等比数列 na 中， 5 20a ， 15 5a ，则 20a 的值是（ ）
A. 5
2
B. 5
2
C. 5 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 q，列出方程组，求得 5 1
2q ，利用等比数列的通项公式，即可求解 20a
的值，得到答案.
【详解】由题意，设等比数列的公比为 q，因为 5 20a ， 15 5a ，
可得
4
5 1
14
15 1
20
5
a a q
a a q
，所以 10 1
4q ，所以 5 1
2q ，
当 5 1
2q 时， 15 3
20 5
1 520 ( )2 2a a q ；
当 5 1
2q 时， 15 3
20 5
1 520 ( )2 2a a q ，
所以 20a 的值是 5
2
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，
列出方程组求得等比数列的公比，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属
于基础题.
5.双曲线 2 24 9 1x y 的渐近线方程是（ ）
A. 4 9 0x y B. 9 4 0x y C. 2 3 0x y D.
3 2 0x y
【答案】C
【解析】
【分析】
把双曲线方程化为
2 2
11 1
4 9
x y ，得到 1 1,2 3a b ，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，双曲线 2 24 9 1x y 可化为
2 2
11 1
4 9
x y ，所以 1 1,2 3a b ，
所以双曲线的渐近线方程为 2
3
by x xa
，即 2 3 0x y .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟
记双曲线的渐近线方程的形式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于
基础题.
6.命题 p:“ [0, )x ，有 0x x 成立.”则命题 p 的否定是（ ）
A. : ( ,0)p x ，有 0x x 成立.
B. : ( ,0)p x ，有 0x x 成立.
C. : [0, )p x ，有 0x x 成立.
D. : [0, )p x ，有 0x x 成立.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题互为否定关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题 p:“ [0, )x ，有
0x x 成立.”则命题 p 的否定是“ : [0, )p x ，有 0x x 成立”.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的关系，其中解答中熟记全称命题与存在性
命题互为否定关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
7.不等式 0a b 成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 2 2 0a b B. 3 3 0a b C. 1 1 1b a
D.
1 1 1a b
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解，得到
答案.
【详解】由题意，当 0a b 时，可得 2 2 0a b 成立，反之：当 2 2 0a b 时， 0a b
不一定成立，所以 2 2 0a b 是 0a b 成立的必要不充分条件；
当 0a b 时，可得 3 3 0a b 成立，反之：当 3 3 0a b 时， 0a b 一定成立，所以
3 3 0a b 是 0a b 成立的充要条件；
当 0a b 时，根据实数性质可得 1 1 0b a
，但 1 1 1b a
不一定成立；反之：当 1 1 1b a
成立时，可得 0, 0a b 且 1 1 0a b
b a ab
，所以 0a b 成立，
所以 1 1 1b a
是 0a b 成立的充分不必要条件；
当 0a b 时，根据实数性质可得 1 1 0b a
，但 1 1 1a b
不一定成立；反之：当 1 1 1a b
成立时，可得 0, 0a b 且 1 1 0b a
a b ab
，所以 0b a 成立，
所以 1 1 1b a
是 0a b 成立的既不充分也不必要条件；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及不等式的性质的应用，其中解答
中熟记不等式的基本性质，熟练应用充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考
查了推理与论证能力，属于基础题.
8.已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F，它的准线与对称轴交点为 A,若 C 上一点 P 满
足横坐标与纵坐标之比为 3 ，且 PAF 的面积为 2 3 ，则点 P 的坐标是（ ）
A. ( 6, 2) B. (2 3,2) C. (6 2,2 6) D.
(12,4 3)
【答案】C
【解析】
【分析】
设为 ( 3 , )P a a ，代入抛物线的方程，求得 2 3a p ，得到 (6 ,2 3 )P p p ，根据 PAF 的
面积，解得 2p ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点 ( ,0)2
pF ，它的准线与对称轴交点
( ,0)2
pA ，因为抛物线 C 上一点 P 满足横坐标与纵坐标之比为 3 ，可设为 ( 3 , )P a a ，
代入抛物线的方程，可得 2 2 3a p a ，解得 2 3a p ，即 (6 ,2 3 )P p p ，
又由 PAF 的面积为 2 3 ，即 1 2 3 2 32 p p ，解得 2p ，
所以点 (6 2,2 6)P .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记
抛物线的标准方程，合理应用抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
9.已知函数 1( ) xf x x
,设 ( )na f n ， n N ,则数列 na 满足：① 1na ；② 1na ；
③数列 na 是递增数列；④数列 na 是递减数列.其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得数列的通项公式 1
n
na n
，化简为 11na n
，即可得到 1na ，再由 1 0n na a ，
得到 1n na a ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，函数 1( ) xf x x
,设 ( )na f n ， n N ，即 1
n
na n
，
因为 1 11n
na n n
，因为 n N ，所以 1 0n
，所以 1na ，所以②正确；
又由 1
1 1 1 1 11 1 01 1 ( 1)n na a n n n n n n ，即 1n na a ，所以数列 na 是递
增数列，所以③正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，以及数列的单调性的判定，其中解答中熟练应用
数列的通项公式，熟练数列的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
10.已知实数 x，y 满足： 5 5x y 且 3 3x y ，则 3x y 的取值范围是（ ）
A. 16 3 16x y B. 11 3 11x y
C. 4 3 4x y D. 13 3 13x y
【答案】B
【解析】
【分析】
设3 ( ) ( )x y m x y n x y ，得出3 ( ) 2( )x y x y x y ，结合不等式的性质，即可
求解，得到答案.
【详解】由题意，设3 ( ) ( )x y m x y n x y ，整理得3 ( ) ( )x y m n x m n y ，
可得 3
1
m n
m n
，解得 1, 2m n ，即3 ( ) 2( )x y x y x y ，
又由 5 5x y 且 3 3x y ，则 6 2( ) 6x y ，
所以 11 ( ) 2( ) 11x y x y ，即 11 3 11x y .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中得出
3 ( ) 2( )x y x y x y ，再结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算
能力，属于中档试题.
11.若 ,a b R 满足 2 3 1a b ，则关于 2 3
a b
的最小值说法正确的是（ ）
A. 当且仅当 1
5a b 时，取得最小值 25.
B. 当且仅当 1
4a ， 1
6b 时，取得最小值 26.
C. 当且仅当 1
4a b 时，取得最小值 20.
D. 当且仅当 1
5a ， 1
3b 时，取得最小值 19.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 2 3 2 3 6 6( )(2 3 ) 4 9 b aa ba b a b a b
，结合基本不等式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，因为 ,a b R 满足 2 3 1a b ，
则 2 3 2 3 6 6 6 6( )(2 3 ) 4 9 13 2 25b a b aa ba b a b a b a b
，
当且仅当 6 6b a
a b
，即 a b 时，又由 2 3 1a b ，解得 1
5a b 时等号成立，
即当且仅当 1
5a b 时，取得最小值 25.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中合理利用基本不等式
的“1”的代换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12.如图，双曲线 C 的焦点是 1F ， 2F ，顶点是 1A ， 2A ，点 P 在曲线 C 上，圆 O 以线段 1 2A A 为
直径.点 M 是直线 1FP 与圆 O 的切点，且点 M 是线段 1FP 的中点，则双曲线 C 的离心率是（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 2,OM PF ，根据圆的性质，可得 1OM PF ，又由 ,O M 分别为 1 2 1,F F PF 的中点，
得到 1 2PF PF ，且 2 2 2PF OM a ，再由双曲线的定义，得到 1 4PF a ，利用勾股定
理得到 ,a c 的方程，即可求解.
【详解】由题意，连接 2,OM PF ，
根据圆的性质，可得 1OM PF ，又由 ,O M 分别为 1 2 1,F F PF 的中点，
所以 2/ /OM PF ，则 1 2PF PF ，且 2 2 2PF OM a ，
又由双曲线的定义，可得 1 2 2PF PF a ，所以 1 2 2 4PF PF a a ，
在直角 1 2PF F 中， 2 2 2
1 2 1 2PF PF F F ，即 2 2 2(4 ) (2 ) (2 )a a c ，
整理得 2 25a c ，所以 5ce a
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义应用，离心率的求解，以及圆的性质的应用，其中解
答中合理利用圆的性质和双曲线的定义，利用勾股定理列出关于 ,a c 的方程是解答的关键，着
重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在相应位置上.）
13.抛物线 22y x 的准线方程为________．
【答案】 1
8y
【解析】
【分析】
先将抛物线化为标准方程，进而可得出准线方程.
【详解】因为抛物线 22y x 的标准方程为： 2 1
2x y ，
因此其准线方程为： 1
8y .
故答案为 1
8y
【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
14.空间向量 (1, 2, 3)a ， ( , ,3)b x y ,若 / /a b
,则 x，y 的值分别为_______ .
【答案】 3, 2 3x y
【解析】
【分析】
根据 / /a b
，得到 3
1 2 3
x y ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，向量 (1, 2, 3)a ， ( , ,3)b x y ，
因为 / /a b
，则满足 3
1 2 3
x y ，解得 3, 2 3x y .
故答案为： 3, 2 3x y .
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及共线向量的条件，其中解答中熟记共线向量
的坐标表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15.关于函数 2( ) ( 1)f x x ， 2( ) 2g x x x .有下列命题：
①对 x R ,恒有 ( ) ( )f x g x 成立.
② 1 2,x x R ,使得 1 2f x g x 成立.
③“若 ( ) ( )f a g b ,则有 0a 且 0b .”的否命题.
④“若 0a 且 0b ,则有 ( ) ( )g a f b .”的逆否命题.
其中，真命题有_____________.（只需填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
设 22 1 0h x f x g x x ， 可 判 定 ① 是 真 命 题 ； 令 1 21, 1x x ， 得 到
1 2f x g x ，可判定②是真命题；根据二次函数的性质和四种命题的等价关系，可判定③
是真命题，④是假命题.
【 详 解 】 由 题 意 ， 设 2 2 2( 1) ( 2 ) 2 1 0h x f x g x x x x x ， 所 以
f x g x ，即对 x R ,恒有 ( ) ( )f x g x 成立，所以①是真命题；
令 1 21, 1x x ，可得 (1) 0, ( 1) 1f g ，此时 1 2f x g x ，即 1 2,x x R ,使得
1 2f x g x 成立，所以②是真命题；
因为当 0a 时，函数 2( 1)f a a 在 ( ,0)a 单调递减，所以 0 1f a f ，
当 0b 时，函数 2 2( ) 2 ( 1) 1g b b b b 在 (0, ) 单调递减，所以 (( 0) 0)gg b ，
所以命题“若 0a 且 0b ,则有 ( ) ( )g a f b ”是真命题，所以④是假命题；
又由命题“若 0a 且 0b ,则有 ( ) ( )g a f b ”与命题“若 ( ) ( )f a g b ,则有 0a 且
0b ”互为逆否关系，所以命题“若 ( ) ( )f a g b ,则有 0a 且 0b ”是真命题，所以③是
真命题，
综上可得，①②③是真命题.
故答案为：①②③.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中数练应用一元二次函数的图象与性质，
以及四种命题的等价关系，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础
题.
16.下图 1，是某设计员为一种商品设计的平面 logo 样式.主体是由内而外的三个正方形构成.
该图的设计构思如图 2,中间正方形 A B C D 的四个顶点,分别在最外围正方形 ABCD 的边上,
且分所在边为 a，b 两段.设中间阴影部分的面积为 S阴影 ，最内正方形 A B C D 的面积为 S内 .
当 10a b ，且 S S阴影 内 取最大值时，定型该 logo 的最终样式，则此时 a，b 的取值分别为
_____________.
【答案】
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
或
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
【解析】
【分析】
设 a b t ，其中 10 10t ，求得 10 10,2 2
t ta b ，根据图形求得 S阴影 和 S内 的表达
式，得到 2 2 212 ( ) (100 )2S S ab a b t t 阴影 内 ，利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，设 a b t ，其中 10 10t ，
又由 10a b ，联立方程组可得 10 10,2 2
t ta b ，
又由阴影部分的三角形为直角边分别为 ,a b 的直角三角形，
所以阴影部分的面积为 14 22S ab ab 阴影 ，
最内正方形 A B C D 的边长为 a b，所以面积为 2( )S a b 内 ，
则 2 2 2 210 10 12 ( ) 2 (100 )2 2 2
t tS S ab a b t t t 阴影 内
2 2
21 100( ) 12502 2
t t ，当且仅当 2 2100 t t 时，即 5 2t 时等号成立，
当 5 2t 时， 10 5 2 10 5 2,2 2a b ；
当 5 2t 时， 10 5 2 10 5 2,2 2a b .
故答案为：
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
或
10 5 2
2
10 5 2
2
a
b
.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中认真审题，得到 S S阴影 内 的表达式，
合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档
试题.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、或演算步骤.）
17.如图，建立空间直角坐标系Oxyz .单位正方体 —ABCD A B C D 顶点 A 位于坐标原点，
其中点 (1,0,0)B ，点 (0,1,0)D ，点 (0,0,1)A .
(1)若点 E 是棱 B C 的中点，点 F 是棱 B B 的中点，点 G 是侧面CDD C 的中心，则分别求出
向量 OE
,OG
， FG
.的坐标；
(2)在(1)的条件下，分别求出 ( )OE OG FG ；| |EG
的值.
【答案】（1） 11, ,12OE
； 1 1,1,2 2OG
； 1 ,1,02FG
；（2） 3( ) 4OE OG FG ；
3| | 2EG .
【解析】
【分析】
(1)根据空间向量的坐标表示，求得 , , ,O E F G 的坐标，即可求得向量OE
， OG
， FG
的坐
标，得到答案；
(2)由（1）得到向量的坐标，利用向量的数量积的坐标运算公式和模的计算公式，即可求解，
得到答案.
【详解】(1)因为点 E 是棱 B C 的中点，点 F 是棱 B B 的中点，点 G 是侧面CDD C 的中心，
可得 1 1 1 1(0,0,0), (1, ,1), (1,0, ), ( ,1, )2 2 2 2O E F G ，
所以 11, ,12OE
； 1 1,1,2 2OG
； 1 ,1,02FG OG OF
；
(2)由（1）可得 3 3 3 1 3 1 3 3 3( ) , ,1,0 ( ) 1 02 2 2 2 2 2 2 2 4OE OG FG
；
又由 1 1 1( , , )2 2 2EG ，所以 2 2 21 1 1 3| | ( ) ( ) ( )2 2 2 2EG .
【点睛】本题主要考查了空间的坐标表示，以及空间向量的数量积的运算，以及模的求解，
其中解答中正确求解向量的坐标，熟练应用向量的数量积的坐标运算公式和模的计算公式，
准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.已知函数 2( ) 2 4f x x x .
(1)关于 x 的一元二次方程 2( ) 2 3 0f x mx m 的两个根是 1x ， 2x ,当 1 22x x 时，求实
数 m 的取值范围；
(2)求关于 x 的不等式 ( ) 2 4 4 0f x mx m 的解集.
【答案】（1） 2( 2, )3
； （2）当 1m 时，解集为 ( ,2) (2, ) ；当 1m 时，解集
( , 2 ) (2, )m ；当 1m 时，解集 ( ,2) ( 2 , )m .
【解析】
【分析】
(1)设 2 2( ) 2( 1) 4 3g x x m x m ，结合二次函数的图象与性质，得到 (2) 0g ，即可求
解，得到答案；
(2)关于 x 的不等式可化为 ( 2)( 2 ) 0x x m ，分类讨论，即可求解.
【详解】(1)由题意，设 2 2 2( ) ( ) 2 3 2( 1) 4 3g x f x mx m x m x m ,
若方程 2( ) 2 3 0f x mx m 的两个根满足 1 22x x ，
结合二次函数的图象与性质，可得只需 (2) 0g ，即 23 4 4 0m m ，
解得 22 3m ，即实数 m 的取值范围是 2( 2, )3
.
(2)关于 x 的不等式 ( ) 2 4 4 0f x mx m ，可得 2 2( 1) 4 0x m x m ，
即 ( 2)( 2 ) 0x x m ，
①当 1m 时，可得 2( 2) 0x ，解得 2x ，所以不等式的解集为 ( ,2) (2, ) ；
②当 1m 时，解得 2x m 或 2x ，所以不等式的解集 ( , 2 ) (2, )m ；
③当 1m 时，解得 2x 或 2x m ，所以不等式的解集 ( ,2) ( 2 , )m .
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的解法，其中
解答熟练应用一元二次函数的图象与性质，以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
19.已知 na 满足 1
1
n
n
a n
a n
，且 1 1a .
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若
2
n
n
ab n
,则求出数列 nb 的前 n 项和 nS .
【答案】（1） 1
na n
； （2） 3
4 2( 1)( 2
2 3
)nS n n
n
.
【解析】
【分析】
(1)由 1
1
n
n
a n
a n
，且 1 1a ，得到 32
1
1 2 1
n
n
n
a aaa a a a a
，即可求解；
(2)由 1 1 1 1
( 2) 2 2nb n n n n
，利用裂项法，即可求解.
【详解】(1)由题意，数列 na 满足 1
1
n
n
a n
a n
，且 1 1a ，
可得 32
1
1 2 1
1 21 2
1
3
1n
n
n
a naaa a na na a
，
即数列的通项公式为 1
na n
.
(2)由 1 1 1 1
( 2) 2 2nb n n n n
，
所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 4 3 5 1 1 2nS n n n n
1 1 1 1 1 1 3 2 3 3 2 3[ ]2 1 2 1 2 2 2 ( 1)( 2) 4 2( 1)( 2)
n n
n n n n n n
.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，以及数列的“裂项法”求和，其中解答中
数列利用数列的递推关系式，合理利用“累积法”和“裂项法”求解是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题.
20.过抛物线 2 2 ( 0)y px p 焦点 F 作倾斜角为
4
的直线，交抛物线于 A，B 两点，点 A 在 x
轴上方.
(1)当线段 AB 中点的纵坐标是 2 时，求抛物线的方程；
(2)求 AF
BF
的值.
【答案】（1） 2 4y x （2） 3 2 2
【解析】
【分析】
（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线 : 2
pAB x y ，联立方程组，运用韦达定理和中点公
式，求得 p 的值，即可得到抛物线的标准方程；
（2）设直线 : 2
pAB x y ，联立方程组，解方程求得交点的纵坐标，再由抛物线的定义，
化简即可求解.
【详解】(1)由题意，设
2
1
1,2
yA yp
，
2
2
2,2
yB yp
，直线 : 2
pAB x y ，
则由
2
2
2
px y
y px
，整理得 2 22 0y py p ，可得 1 2 2y y p ，
因为线段 AB 的中点的纵坐标是 2，可得 1 2 2 4y y p ，解得 2p ，
所以抛物线的方程为 2 4y x .
（2）由
2
2
2
px y
y px
，可得 2 22 0y py p ，解得 1 ( 2 1)y p ， 2 ( 2 1)y p ，
由抛物线的方程，可得
2 2
1 2
1 2,2 2
y yx xp p
，
由抛物线定义
2
1
2 2
1
2 2 2
2 2
2
2
2 22 2 3 2 2
2 2
2
y p
y pAF p
y pBF y p
y
.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程以及简单的几何性质的应用，其中解答中设出
直线的方程，联立方程组，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算
能力，属于基础题.
21.已知数列 na 的前 n 项和 2 2nS n n .数列 nb 是等比数列，且 1 1 2b a ， 2 2 3b a .
(1)分别求出数列 na ， nb 的通项公式；
(2)若 n
n
n
ac b
,则求出数列 nc 的前 n 项和 nT .
【答案】（1） 2 1na n ； 12n
nb （2） 1
2 510 2n n
nT
【解析】
【分析】
（1）运用数列的递推式 11 1 2), (n n na nS a S S ，化简可得 na ，再由 nb 是等比数列，
结合等比数列的通项公式，即可求解；
（2）求得 1
2 1
2
n
n n
n
a nc b
，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前 n 项和，得到答案.
【详解】(1)由题意，数列 na 的前 n 项和 2 2nS n n ，
当 1n 时，可得 11
21 2 3Sa ，
当 2n 时， 2 2
1 2 ( 1) 2( 1) 2 1n n na S S n n n n n ，
当 1n 时， 1 3a 适合上式，
所以数列的通项公式为 2 1na n ，
又由 1 1 2 1b a ， 2 2 3 2b a .
因为数列 nb 是等比数列，即数列 nb 构成首项为1，公比为 2q = 的等比数列，
所以 nb 的通项公式为 12n
nb .
(2)由 1
2 1
2
n
n n
n
a nc b
，则数列 nc 的前 n 项和 nT ，可得
0 1 2 n 1
3 5 7 2n 1
2 2 2 2nT
；
则 1 2 3 n
1 3 5 7 2n 1
2 2 2 2 2nT ，
两式相减，可得 1 2 1
1 3 1 1 1 2 122 1 2 2 2 2n n n
nT
n 1
n n 1 n n
1 1(1 ) 2n 1 2 2n 1 2n 52 23 2 5 51 2 2 2 21 2
，
所以 1
2 510 2n n
nT
.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及“错位相减法”求和的应用，此类题
目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是
在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计
算能力等.
22.已知椭圆 E 的中心在坐标原点，两个焦点分别为 1( 1,0)F , 2 (1,0)F ,短半轴长为 2.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)过焦点 2F 的直线 l 交椭圆 E 于 A，B 两点，满足 1 1F A F B ,求直线 l 的方程.
【答案】（1）
2 2
15 4
x y ；（2） 2 2 0x y 或 2 2 0x y .
【解析】
【分析】
(1)由题意，求得 1c ， 2b ，得到 2 2 5a b c ，即可求得椭圆的标准方程；
(2)设直线 : 1l x ny ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，联立方程组，求得 1 2 1 2,y y y y ，再根据
1 1F A F B ，代入直线的方程得到 2
1 2 1 2n 1 y y 2n y y 4 0 ，代入求得 n 的值，即
可求解.
【详解】(1)由题意，椭圆 E 的两个焦点分别为 1( 1,0)F , 2 (1,0)F ，短半轴长为 2，
可得 1c ， 2b ，则 2 2 5a b c ，
所以椭圆 E 的标准方程
2 2
15 4
x y ；
(2)由题意知直线 l 与 x 轴不重合，设直线 : 1l x ny ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
联立方程组
2 24 5 20
1
x y
x ny
，整理得 2 24 5 8 16 0n y ny ,
可得 1 2 2
8n
4n 5y y
， 1 2 2
16
4n 5y y
，
又由 1 1F A F B ，则 1 1 0F A F B ，得 1 1 2 21, 1, 0x y x y ，
代入直线可得 1 1 2 22, 2, 0ny y ny y ，即 2
1 2 1 2n 1 y y 2n y y 4 0 ，
代入可得 2
2 2
16 8nn 1 ( ) 2n ( ) 4 04n 5 4n 5
，解得 2 1
4n ，
所以直线 l 的方程为 1 12x y ，
即直线l 的方程为： 2 2 0x y 或 2 2 0x y .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解
答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关
系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的
逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.