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- 2021-04-13 发布
龙海二中2017-2018学年上学期第二次月考
高二数学（理）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．对总数为的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为，则 的值为（ ）
A．100 B．120 C．150 D．200
2．已知抛物线的准线方程为( )
A． B． C． D．
3．下列四个命题中，真命题是( )
A. 若，则； B. “正方形是矩形”的否命题；
C. “若，则”的逆命题； D. “若，则，且”的逆否命题.
4．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在2000名学生中随机抽取250名，并统计这250名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图所示)．根据频率分布直方图推测，推测这2000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是（ ）
A．50 B．250 C．400 D．600
5．如图给出计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A． i＞25 B． i＜25
C． i＞26 D． i＜26
（4题）图
（5题）图
6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次
英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数
为15，乙组数据的平均数为17，则x，y的值分别为( )
（6题）图
A．2, 5 B．5, 8 C．5, 9 D．8, 9
7．已知椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线的夹角为直角，则=( )
A．１６ B．１８ C．２４ D．３６
8．已知命题p：函数的最小正周期为2π；命题q：函数的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( )
A．p∧q B．()∧() C．p∨q D．p∨()
9. 已知,为两个非零向量，则“与共线”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为( )
A．2或 B．2或 C. D．2
11．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点，点在抛物线上，且，则点的横坐标为（ ）
A． B．2 C. D．4
12．如图，为椭圆的长轴的左、右端点，为坐标原点，，，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则=（ ）
A．25 B．9+ C．16 D．
（12题）图
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设双曲线的一个焦点为（0，3），则的值为
14．已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是__________．
15．在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为 。
16. 已知是椭圆与双曲线共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为
三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
已知命题：方程表示双曲线，命题：关于x的方程对于一切恒成立，
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
龙海二中高二(1)班有男同学10名，女同学30名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名男同学的概率；
(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
19.（本小题满分12分）
双曲线的中心在原点，渐近线方程为 ，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设点P是双曲线上任一点，该点到两渐近线的距离分别为m、n.证明是定值.
20.（本小题满分12分）
过点Q(2,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分．
(1)求AB所在直线方程；
(2)求|AB|的长．
21. （本小题满分12分）
高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：
1
2
3
4
【来源：全,品…中&高*考+网】
11
24
35
50
（1）求关于的线性回归方程，并预测答题正确率是100﹪的强化训练次数；
（2）若用表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝， ＝－; 样本数据的标准差为：
22. （本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，且过点（，）．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值；
(3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．
龙海二中2017-2018学年上学期第二次月考
高二数学（理）试卷参考答案
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
A
C
A
C
B
C
D
B
B
A
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16. 4
三、解答题。(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
解：（1）因为方程表示双曲线，所以 3分
解得 5分
当真假时，，则…………………………8分
当假真时，，则………………9分
综上所述，实数的取值范围是………………10分
18. （本小题满分12分）
解：(1)P＝
所以某同学被抽到的概率为.设该课外兴趣小组中有x名男同学，则＝，
所以x＝1，
所以男、女同学的人数分别为1,3. ………..…….3分
(2)把3名女同学和1名男同学分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)，共12种情况，其中恰有一名男同学的有6种情况，所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率P1＝＝. ………..…….7分
(3)因为1＝＝71， 2＝＝71，
s＝＝3.2，
s＝＝4，
所以1＝2，s＜s，故第一名同学的实验更稳定． ………..…….12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）设所求的双曲线方程是 ……………………3分
因为双曲线过点，所以求得……………………5分
所以所求的双曲线方程是…………………………6分
（说明：其他方法求解也照样给分）
（2）设P，已知渐近线的方程为：
该点到一条渐近线的距离为：………………………8分
到另一条渐近线的距离为…………………………10分
所以是定值.…………………………12分
20、（本小题满分12分）
解：19.解 (1)方法一：设以Q为中点的弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
y＝8x1，①y＝8x2，②x1＋x2＝8，③y1＋y2＝2，④k＝.⑤
将③，④代入①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．
∴y1－y2＝4(x1－x2)，∴4＝.∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线方程为y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.……………………6分
方法二：设弦AB所在直线方程为y＝k(x－2)＋1.由消去，得.此方程的两根就是线段端点A，B两点的横坐标，由韦达定理，得，而，解得k＝4…6分
∴所求弦AB所在直线方程为4x－y－7＝0.
(2)由消去，得.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝…………………………12分
21. （本小题满分12分）
解：（1）由所给数据计算得： ，
,＝， ＝－ =-2
所求回归直线方程是，由得7.97.
预测答题正确率是100﹪的强化训练次数为8次；………7分
（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为4，5，6，7
平均数是5.5，“强化均值”的标准差是
这个班的强化训练有效。 ……………………………………………12分
22. （本小题满分12分）
解：（1） ……… 3分
（2） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.
由，得……………5分
△＞0，且 …………6分
有OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝x1x2＋(k x1＋m) (k x2＋m)
＝(1＋k2) x1x2＋k m(x1＋x2)＝0 ……8分
代入，得，原点到直线AB的距离d＝. …………9分
当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立．
所以点O到直线的距离为定值 ……………10分
说明：直接设直线OA的斜率为K相应给分
（3）
，
………12分
当且仅当，即时等号成立. ………………13分
当斜率不存在时，经检验|AB|＜.所以≤。