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- 2021-04-13 发布
云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（二）
高二年级 数学试卷（理科）
第I卷（选择题，共分）
一、 选择题：本大题共小题，每小题分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，若＝－1，则实数a的值为（ ）
A．2 B．±1 C．1 D．一1
5.“0≤m≤l”是“函数有零点”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 如图，给出的是计算＋＋＋…＋的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )
A．i≤2021? B． i≤2015? C．i≤2019? D．i≤2017?
7．设不等式组，所表示的区域为M，函数y＝的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝（ ）
A． B． C． D．
9.将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为( )
A．0 B．－1 C．－ D．－
10.棱长为2的正方体的所有顶点均在球的球面上，，，分别为，，的中点，则平面截球所得圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
11.已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． 2 B． 3 C. 4 D．5
12.已知函数恰有两个零点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷 客观题（共分）
一、 填空题（每小题分，小题共分）
13设函数若，则的值为_____ ；
14. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为 ；
15. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ；
16.已知函数满足，且，当时，，那么在区间内，关于的方程且恰有4个不同的根，则的取值范围是 ．
三、解答题（第题分，其余每题分，共分，解答应写出证明过程或演算步骤）
17.（本题10分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a＝1，A＝，。
（I）求B，C的值；
（II）求△ABC的面积．
18. （本题12分）
从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；
（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？
（3）在（2）中抽取的6人中，随机抽取2人，求分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率．
19. （本题12分）
若数列满足为常数），则称数列为调和数列.
（1）已知数列调和数列，且满足求的通项公式；
（2）若数列为调和数列，且，求的前项和.
20. （本题12分）
如图，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，CB=CD，AD=DB，P，Q分别在线段AB，AC上，AP=3PB，AQ=2QC，M是BD的中点．
（Ⅰ）证明：DQ∥平面CPM；
（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D的大小为，求∠BDC的正切值．
21. （本题12分）
已知椭圆的焦点在轴上，离心率等于，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，若，求证：为定值．
22. （本题12分）
已知函数
(1)若函数的最小值为0，求的值；
(2)证明：.
云天化中学2016—2017学年度下学期阶段测试（二）
高二数学（理科） 参考答案
附参考答案：
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
C
A
D
B
B
D
A
D
C
【解析】
1．，，，故选C．
2.由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－，∴＝－＋，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.
3．椭圆的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线的渐近线方程为：，故选A．
4．，故选C．
5．，由，得，且，所以函数有零点．反之，函数有零点，只需 ，故选A.
6. 判断框内可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”选D．
7.本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(，0)，(－，0)，(0，)为顶点的三角形区域，函数y＝的图象与x轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为＝，故选B.
8．由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B．
9. f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到g(x)＝sin＝sin的图象，又g(x)的图象关于y轴对称，
∴g(0)＝sin＝±1，
∴－＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，
∴φ＝－，∴f(x)＝sin，又x∈，
∴2x－∈，∴f(x)min＝－.故选D。
10.如图2，正方体的外接球球心O为对角线的中点，球半径，球心O到平面的距离为，所以小圆半径，故选A．
11.解析：抛物线的准线是，作于，由抛物线的定义知，所以要使最小，即最小，只要，，三点共线且在与之间即可，此时的最小值是：，选D．
12.解析：函数有两个零点，可转化为函数与恰有两个交点,因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得极小值；而当时，恒成立，
利用图像可知，选．
二、填空题：
13．解：
14.解：设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，
15．本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－×()2×1＝2π－，
16.令，则化为，即直线恒过．根据题意，画出的图象与直线，如图所示，由图象可知当直线介于直线与之间时，关于x的方程(且)恰有4个不同的根，又因为，，所以．
三、解答题
17.解：（Ⅰ），
，
，
，
又．
又，． ………………………………（6分）
（Ⅱ）由，得，
．………………………（10分）
18.解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为：
0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．…（4分）
（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，
所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）…（8分）
（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[30，50）的有4人，记为A1，A2，A3，A4
分数在[130，150]的人有2人，记B1，B2，
从中随机抽取2人总的情形有：
（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，A3）、
（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、
（A4，B1）、（A4，B2）、（B1，B2）15种；
而分数在[30，50）和[130，150]各1人的情形有（A1，B1）、（A1，B2）、（A2，B1）、
（A2，B2）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A4，B1）、（A4，B2）8种
故分数在[30，50）和[130，150]各1人的概率…（12分）
19.解：（Ⅰ）因为为调和数列，故为等差数列，
又， ……………………（2分）
故是以1为首项，1为公差的等差数列，
故，
故． ………………………………（5分）
（Ⅱ）为调和数列，故．
由知道，，
故是以1为首项，2为公差的等差数列， ……………………………（7分）
故，， ……（9分）
． ………………………………（12分）
20.解：（Ⅰ）取AB的中点E，则，所以EQ∥PC．
又EQ⊄平面CPM，所以EQ∥平面CPM． …
又PM是△BDE的中位线，所以DE∥PM，
从而DE∥平面CPM．…
所以平面DEQ∥平面CPM，…
故DQ∥平面CPM． …（5分）
（Ⅱ）解法1：由AD⊥平面BCD知，AD⊥CM
由BC=CD，BM=MD，知BD⊥CM，
故CM⊥平面ABD． …
由（Ⅰ）知DE∥PM，而DE⊥AB，故PM⊥AB．
所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角，
即． …
设PM=a，则，，
在Rt△CMD中，． …
所以∠BDC的正切值为．…(12分)
解法2：以M为坐标原点，MC，MD，ME所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设MC=a，MD=b，则C（a，0，0），B（0，﹣b，0），A（0，b，2b）…
则，
设平面ABC的一个法向量，
则即取…
平面ABD的一个法向量为，…
所以，所以
在Rt△CMD中，
所以∠BDC的正切值为． …（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为，
，，
∴椭圆C的标准方程为． ………………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：设点A，B，M的坐标分别为，
又易知F点的坐标为．
显然直线l存在斜率，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程是，
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
， ……………………………………………（8分）
， ……………………………………………（9分）
又，
将各点坐标代入得， …………………………………（11分）
． ………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解 (1)f(x)＝ln x＋－1的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝－＝.
若a≤0，则f′(x)>0，于是f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)无最小值，不符合题意．
若a>0，则当0a时，f′(x)>0.
故f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
于是当x＝a时，f(x)取得最小值ln a.
由已知得ln a＝0，解得a＝1.
综上，a＝1. （6分）
(2)证明：①下面先证当x∈(0，π)时，ex＋(ln x－1)sinx>0.
因为x∈(0，π)，所以只要证>1－ln x.
由(1)可知≥1－ln x，
于是只要证>，即只要证xex－sinx>0.
令h(x)＝xex－sinx，则h′(x)＝(x＋1)ex－cosx.
当01·e0－1＝0，
所以h(x)在(0，π)上单调递增．
所以当0h(0)＝0，即xex－sinx>0.
故当x∈(0，π)时，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．
②当x∈[π，＋∞)时，由(1)知≥1－ln x，
于是有x≥1－ln，即x≥1＋ln x.
所以ex≥e1＋ln x，即ex≥ex，
又因为ex≥e(1＋ln x)，所以ex≥e(1＋ln x)，
所以ex＋(ln x－1)sinx≥e(ln x＋1)＋(ln x－1)sinx
＝(e＋sinx)ln x＋(e－sinx)>0.
综上，不等式ex＋(ln x－1)sinx>0成立．（12分）