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- 2021-04-13 发布
北京师大附中2018-2019学年下学期高一年级期末考试
数学试卷AP
一、选择题:在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上。
1.一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积是（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【答案】B
【解析】
分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是矩形，由题意知该矩形的长、宽分别为，根据矩形面积公式可得结果.
详解：因为圆柱的轴截面是矩形，
由题意知该矩形的长是母线长，
宽为底面圆的直径，
所以轴截面的面积为，故选B.
点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题.
2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( )
A. 1个或2个 B. 0个或1个
C. 1个 D. 0个
【答案】B
【解析】
若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在;故选B.
3. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和，故。选A。
4.已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是（ ）．
（） （） （） （）
A. （）与（） B. （）与（） C. （）与（） D. （）与（）
【答案】D
【解析】
∵直线l⊥平面α，若α∥β，则直线l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，即(1)正确；
∵直线l⊥平面α，若α⊥β，则l与m可能平行、异面也可能相交，故(2)错误；
∵直线l⊥平面α，若l∥m，则m⊥平面α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β；故(3)正确；
∵直线l⊥平面α，若l⊥m，则m∥α或m⊂α，则α与β平行或相交，故(4)错误；
故选D.
5.若平面∥平面，直线∥平面,则直线与平面的关系为( )
A. ∥ B. C. ∥或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用空间几何体，发挥直观想象，易得直线与平面的位置关系.
【详解】设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，
因为直线∥平面，所以直线通过平移后，可能与平面平行，也可能平移到平面
内，所以∥或.
【点睛】空间中点、线、面位置关系问题，常可以借助长方体进行研究，考查直观想象能力.
6.经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有( )
A. 1个 B. 2个 C. 无数个 D. 1个或无数个
【答案】D
【解析】
【分析】
讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况.
【详解】（1）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线垂直底面，过直线的平面有无数多个与底面垂直；
（2）设平面为平面，点为平面外一点，点为平面内一点，
此时，直线与底面不垂直，过直线的平面，只有平面垂直底面.综上，过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有1个或无数个，故选D.
【点睛】借助长方体研究空间中线、面位置关系问题，能使问题直观化，降低问题的抽象性.
7.如果直线与平面不垂直，那么在平面内（ ）
A. 不存在与垂直直线 B. 存在一条与垂直的直线
C. 存在无数条与垂直的直线 D. 任意一条都与垂直
【答案】C
【解析】
【详解】因为直线l与平面
不垂直，必然会有一条直线与其垂直，而所有与该直线平行直线也与其垂直，因此选C
8.正四棱柱的高为3cm,体对角线长为cm,则正四棱柱的侧面积为( )
A. 10 B. 24 C. 36 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】
设正四棱柱，设底面边长为，由正四棱柱体对角线的平方等于从同一顶点出发的三条棱的平方和，可得关于的方程.
【详解】如图，正四棱柱，设底面边长为，
则，解得：，
所以正四棱柱侧面积.
【点睛】本题考查正棱柱的概念，即底面为正方形且侧棱垂直于底面的几何体，考查几何体的侧面积计算.
二、填空题:请将答案填在答题纸上。
9.圆台两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为cm，则它的轴截面的面积是________cm2.
【答案】63
【解析】
【分析】
首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.
详解】画出轴截面，
如图，过A作AM⊥BC于M，
则BM＝5－2＝3(cm)，
AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．
【点睛】本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________．
【答案】
【解析】
分析：由已知中圆锥的底面半径是，高是，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到结论.
详解：圆锥的底面半径是，高是，
圆锥的母线长，
则圆锥侧面积公式，故答案为.
点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题.
11.平面⊥平面,,，，直线，则直线与位置关系是___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用面面垂直的性质定理得到平面，又直线，利用线面垂直性质定理得
.
【详解】在长方体中，设平面为平面，平面为平面，
直线为直线，由于，，由面面垂直的性质定理可得：平面，
因为，由线面垂直的性质定理，可得.
【点睛】空间中点、线、面的位置关系问题，一般是利用线面平行或垂直的判定定理或性质定理进行求解.
12.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可得：该三棱锥的三条侧棱都为，所以三棱锥的体积.
考点：三棱锥的体积公式.
13.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5 ，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
【答案】
【解析】
【分析】
利用长方体的体对角线是长方体外接球的直径,求出球的半径，从而可得结果.
【详解】本题主要考查空间几何体的表面积与体积。
长方体的体对角线是长方体外接球的直径,
设球的半径为，则,
可得，球的表面积
故答案为.
【点睛】本题主要考查长方体与球的几何性质，以及球的表面积公式，属于基础题.
14.正六棱柱底面边长为10,高为15,则这个正六棱柱的体积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
正六棱柱是底面为正六边形的直棱柱，利用计算可得结果.
【详解】因为正六棱柱底面边长为10，所以其面积，
所以体积.
【点睛】本题考查正六棱柱的概念及其体积的计算，考查基本运算能力.
三、解答题:写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.如图，在三棱锥中，垂直于平面，.求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
分析：由线面垂直的性质可得，结合，利用面面垂直的判定定理可得
平面.
详解：∵面，在面内，
∴，
又∵，
，
∴面.
点睛：证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
16.已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点， 且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH∥BD.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】证明：平面，
平面，且，
平面，
平面ABD,
平面平面,
.
17.已知是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上任一点．求证:平面⊥平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
先证直线平面，再证平面⊥平面.
【详解】证明: ∵是圆的直径，是圆上任一点，，，
平面，平面，
，又，
平面，又平面，
平面⊥平面.
【点睛】本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理应用，考查垂直关系的简单证明.