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- 2021-04-13 发布
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2019-2020学年度潜山二中高一年级期中数学考试试题
第I卷（选择题)
一、单选题（共12小题，每小题5分)
1.设全集，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
全集，，.
.
故选C.
2.，则与表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据定义域与解析式是否一致,可判断两个函数是否是相同函数.
【详解】对于A. ,,解析式不一致,所以A错误;
对于B:,定义域为R,定义域为,所以B错误;
对于C.，定义域为,定义域为,定义域与解析式都一致,所以C正确.
对于D.定义域为,定义域为R,所以D错误.
综上可知,C中两个函数为相同函数
故选:C
【点睛】本题考查了两个函数是否为相同函数的判断方法,从定义域和解析式两个方面入手,属于基础题.
3.下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】对A：在其定义域内不是单调函数，不符合题意；
对B：，则，是奇函数，且在定义域内为增函数，符合题意；
对C：，则，是偶函数，不符合题意；
对D：，则，是偶函数，不符合题意.
故选：B.
【点睛】本题考查简单函数的奇偶性与单调性，是基础题.
4.已知函数，则=（ ）.
A. 82 B. -17 C. 4 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出，再计算即可得出结果.
【详解】因为，所以，因此.
故选D
【点睛】本题主要考查求函数值，由内向外逐步代入，即可得出结果，属于基础题型.
5.设，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先分析得到，再比较b,c的大小关系得解.
【详解】由题得.
,
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6.设函数对的一切实数均有，则（ ）
A. － B. 2017 C. 2018 D. 4036
【答案】A
【解析】
【分析】
将x换成再构造一个等式，然后消去f（），得到f（x）的解析式，最后可求得f（2019）．
【详解】∵f（x）+2f（）＝6x①
∴f（）+2f（x）②
∴①﹣②×2得﹣3f（x）＝6x
∴f（x）＝﹣2x，
∴f（2019）＝﹣4038+4＝﹣4034.
故选A．
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，属中档题．
7.函数的图象是( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简题设中的函数后可得其图像的正确选项.
【详解】函数可化为，故其图像为D.
【点睛】本题考查分段函数的图像，属于基础题.
8.定义在R上的奇函数，满足，在区间上递增，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数是R上的奇函数，满足可知函数一对称轴为
，再根据奇函数可知的周期为，只需比较， ， 的大小即可.
【详解】因为，
所以的图象关于直线 对称，
由可知，
又函数是R上的奇函数，
所以 ，
所以 ，即函数的周期 ，
所以
因为奇函数在区间上递增，所以在上递增，
因为的图象关于直线 对称，所以在上递减，
所以，故选 A.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，对称性，单调性，属于难题.
9.标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，对取对数可得
，即可得，分析选项即可得答案．
【详解】据题意，对取对数可得，即可得
分析选项：B中与其最接近，
故选B.
【点睛】本题考查对数计算，关键是掌握对数的运算性质．
10.已知，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令g（x）＝ax3+bx，则g（x）是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得f（﹣2019）的值．
【详解】令g（x）＝ax3+bx，则g（x）是R上的奇函数，
又f（2019）＝k，
∴g（2019）+1＝k，
∴g（2019）＝k﹣1，∴g（﹣2019）＝﹣k+1，
∴f（﹣2019）＝g（﹣2019）+1＝﹣k+1+1＝﹣k+2．
故选D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，构造奇函数是解题的关键，属于基础题．
11.函数在上是减函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据复合函数的单调性以及的单调性判断出的基本范围，然后再根据真数大于零计算出的最终范围.
【详解】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.
故选C.
【点睛】复合函数单调性的判断依据：“同増异减”，即内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.
12.已知函数，则使函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数的零点就是方程的根，作出的图象如图，
观察它与直线y=m的交点，得知当时，或m＞1时有交点，
即函数g（x）=f（x）﹣m有零点．故选D．
第II卷（非选择题)
二、填空题（共4小题，每小题5分)
13.函数的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数真数大于零和偶次根式被开方数非负列不等式组，解出的取值范围，即为函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为，
故答案为.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉几种常见函数求定义域的方法，具体原则如下：
（1）分式中分母不为零；
（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；
（3）对数真数大于零，底数大于零且不等于；
（4）零次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切：，，；
（6）已知函数的定义域为，求函数的定义域，只需；
（7）已知函数的定义域，求函数的定义域，只需，即的值域.
14.已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则时，________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据是奇函数，以及时，可设，根据，从得出时的的解析式．
【详解】解：∵是定义在上的奇函数，且时，，
∴设，则，
，
．
故答案为．
【点睛】考查奇函数定义，求奇函数在对称区间上的函数解析式的方法和过程．
15.设偶函数的定义域，若当时，的图像如图所示，则满足不等式的的范围是______________
【答案】
【解析】
【分析】
根据奇偶性以及函数图象得到的正负分布，根据正负分布得到的解集.
【详解】因为，，又因为是偶函数，所以 ，；
当，当，当，当；所以的解集为：.
【点睛】对于给定函数部分图象以及奇偶性讨论函数值的正负，此时也可以根据奇偶性将图象补充完整，直接根据图象分析也可以.
16.若函数同时满足：(1)对于定义域上的任意，恒有；(2)对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数中：①； ②； ③；④，则被称为“理想数”的有________(填相应的序号)．
【答案】（4）
【解析】
【分析】
由“理想函数”的定义可知：若是“理想函数”，则为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可．
【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数；
②对于定义域上的任意，，当时，恒有，，
时，，即函数是单调递减函数．
故为定义域上的单调递减的奇函数．
（1）在定义域上既是奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”；
（2）在定义域上是偶函数，所以不是“理想函数”；
（3）不是奇函数，所以不是“理想函数”；
（4），在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”．
故答案为（4）
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解题的
关键，属于中档题
三、解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分)
17.计算求值：
（1）
（2） 若 ， 求的值
【答案】（1）10 （2）3
【解析】
【分析】
根据指数式的运算化简即可．
【详解】（1）原式
（2）
【点睛】本题考查了指数幂的化简求值，属于基础题．
18.已知集合A={x|x2-4x+3≤0}，B={x|log2x＞1}，
（I）求A∩B，（∁RB）∪A；
（II）若{x|1＜x＜a}⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】（Ⅰ）A∩B={x|2＜x≤3}，（∁RB）∪A={x|x≤3}．（Ⅱ）a≤3．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先解不等式得集合A，B，再根据交集、补集、并集定义求结果，（II）根据子集为空集与非空分类讨论，解得结果.
【详解】解：（Ⅰ）
则,
（Ⅱ）若,即，满足条件,
若，则需
综上．
【点睛】本题考查集合交并补运算以及解不等式，考查基本运算求解能力，属基础题.
19.设.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）为奇函数；（2）是上的减函数
【解析】
试题分析：（1）利用奇偶性的定义计算即可得奇函数；
（2）由单调性定义设是区间上的任意两个实数，且计算，和0即可得单调性.
试题解析：
解：对于函数，其定义域为
∵对定义域内的每一个，
都有，
∴函数为奇函数.
（2）设是区间上的任意两个实数，且，
则
.
由得，
而，
于是，即.
所以函数是上的减函数.
20.已知函数.
(1)若 ，求方程的根；
(2)若对任意 ， 恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，得到对应方程，结合题中条件求解即可；
（2）先令，由题意得到，将对任意 ， 恒成立，化为对恒成立，求出的最小值，即可求解.
【详解】解：（1）时，，
可得：，
，
，解得
（2）令，，
由，可得，对恒成立，
因为，当且仅当，即时，的最小值为；
，故，
的取值范围为.
【点睛】本题主要考查含对数的方程、以及根据不等式恒成立求参数的问题，熟记对数的运算，灵活运用转化的思想，即可求解，属于常考题型.
21.若是定义在上的增函数，且对一切，满足.
（1）求的值；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法直接求解即可；（2）利用已知条件，结合函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．
【详解】（1）在中，
令，得，∴．
（2）∵，
∴，
∴，
即，
∵是上增函数，
∴，解得．
故不等式的解集为．
【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的单调性以及赋值法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
22.已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点.
（1）求实数的值；
（2）若方程在区间上有两个不同的实根，试求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数性质以及函数的图像经过点得方程组解得实数的值；（2）变量分离，结合函数的取值情况即可得解.
【详解】（1）因为函数的图像经过点，所以
因为函数是奇函数，
所以
因此
（2）因为，所以，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
因此若方程在区间上有两个不同的实根，则
【点睛】本题考查奇函数性质以及函数零点，考查综合分析运算能力，属中档题.