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- 2021-04-13 发布
2019-2020学年河北省正定县第一中学高二上学期第一次月考数学试题
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 ( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
2、若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．11 B．5 C． 9 D．
3、抛物线y＝2x2的焦点坐标是( )
A． B． C． D．
4、点B(4,－2)与圆 x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
5、若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是( )
A．10 B．9 C．5 D．
6、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．半椭圆
7、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆
＋＝1有公共焦点．则C的方程为 ( )
A． B． C． D．
8、已知点是椭圆上的点，设点，的坐标分别为， 直线，的斜率之积是( )
A． B． C． D．
9、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关
系为 ( )
A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．以上都有可能
11、已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝6y C．x2＝3y D．x2＝3y
12、已知椭圆C：＋＝1的一个顶点为A(2，0)，直线y＝kx－k与椭圆C交于不同的两点M，N，当△AMN的面积为时，则k的值为 ( )
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4，0)，则m= .
14、已知的顶点坐标分别是，则外接圆的方程
为 .
15、如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水上升1米后，水面宽 米．
16、如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，
AE，以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的值为____________．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17、（本小题满分10分）
已知直线y＝ax＋4及圆C：.
(1)若直线y＝ax＋4与圆C相切，求a的值；
(2)若直线y＝ax＋4与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
18、（本小题满分12分）
已知双曲线x2－y2＝6，左、右焦点分别为F1，F2.
(1)求双曲线的离心率、渐近线方程、右焦点F2到渐近线的距离；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：．
19、（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点.
(1)求它的标准方程；
(2)直线：，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？
最小距离是多少？
20、（本小题满分12分）
已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点，．求直线的方程.
21、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点、，设圆的半径为1，圆心在直线上.
(1)若圆心也在直线上，求圆的标准方程；
(2)若圆上存在点，使.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求圆心的横坐标的取值范围．
22、（本小题满分12分）
已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，
求直线l的方程.
高二数学第一次月考试题答案
一、选择题
1、解：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选B．
2、解：由双曲线定义得，即，解得，
故选C．
3、解：由抛物线的标准方程为x2＝y，可知＝，所以焦点坐标是.
故选C.
4、解：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4，连线的中点坐标为(x，y)，
则即代入x＋y＝4得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．故选D．
5、解：由题意可知焦点F的坐标为(1，0)，则准线方程为x＝-1，设M(xM，yM)，
则xM＋1＝10，所以xM＝9，即M到y轴的距离是9. 故选B.
6、解：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以
|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|＝4，由椭圆定义知P的轨迹是椭圆．故
选C.
7、解：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则＝．①又因为椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知c＝3，则a2＋b2＝c2＝9．②由① ② 解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1，故选A．
8、解：由题支可知为定值，故可取上顶点，
故选B.
9、解：，得，故选A.
10、解：<1，所以a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．故选A．
11、解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得x2-2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，
因此所求的抛物线的方程为x2＝3y.故选D.（或用点差法也可）
12、解：由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0．
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1故选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、解：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．
14、解：由题意可知点是圆的一条直径的两个端点，故圆心坐标
为，半径，所以外接圆的标准方程为.
（或外接圆的一般方程为）都对. (注意方法的多样化)
15、解：建立直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为，
设抛物线的方程为，与抛物线的交点为、，
根据题意知，则有，所以，
所以抛物线的解析式为，水位上升1米，则，此时有
或所以此时水面宽为米．故填.
16、解：不妨设BD＝AE＝1，则AD＝BE＝，AB＝2.令椭圆长轴长为2a，双
曲线实轴长为2a′，焦距为2c，则2c＝2，2a＝1＋，2a′＝-1，所以e1+e2
＝2.故填2.
三、解答题
17、解：(1)圆心C(1，2)，半径r＝2，………………………………………...2分
由题意得＝2，解得a＝0或a＝ ；…………………………….5分
(2)因为圆心到直线axy＋4＝0的距离为，……………………….7分
所以＋＝4，解得a＝……………………………..10分
（注意方法的多样化）
18、解：(1)由x2－y2＝6得，
可知a＝b＝，c＝2，所以，，………………………...2分
渐近线方程为…………………………………………….4分
右焦点F2(2，0)，到直线的距离为………..6分
(2)证明：由(1)可知，a＝b＝，所以c＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
所·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，…………………..9分
因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0………………………………………………12分
(或利用证明)
19、解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
由椭圆的定义知……3分
所以.又因为，所以.
因此，所求椭圆的标准方程为；…………………………….6分
（注：用待定系数法也可）
（2）设直线平行于直线，则直线的方程可以写成.
由得………………………………….9分
令判别式，得.
解得或.当时，直线与椭圆的交点到直线的距离最近，
此时直线的方程为.
直线与直线间的距离，所以，最小距离是……12分
20、解：（1）因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，
并且经过点，所以，可设它的标准方程为.
因为点在抛物线上，所以，即.
因此，所求抛物线的标准方程是…………………………….4分
（2）由题意得，的方程为．………………….5分
设，由，得．
，故．………………………8分
所以．……………….10分
由题设知，解得（舍去），．
因此直线的方程为．…………………………………………..12分
21、解：（1）由题意设点，…………………………………… 2分
又点也在直线上，
所以，解得
所以圆的标准方程为；…………………………….4分
（注：圆心也可以通过求两条直线的交点得到）
（2）（i）设，由，
得化简得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；…………………8分
（ii）点的轨迹可记为圆，又因为点在圆上，
所以圆与圆的关系为相交或相切，…………………………...10分
所以，其中，
所以，
解得…………………………………………12分
22、解：(1)由题意可得
解得a＝，b＝1，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1………………………………..4分
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意………5分
②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
联立
消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，显然Δ＞0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.................................................7分
所以y1y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝................................................9分
因为OM⊥ON，所以＝0，
所以x1x2＋y1y2＝＝0，所以k＝±，
即直线l的方程为y＝±(x－1)…………………………………………12分